Из­вест­но, что ме­ди­а­ны де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

По­это­му тре­уголь­ни­ки AB₁B и CB₁B рав­но­бед­рен­ные, причём ∠B₁AB = ∠ABB₁ и ∠B₁CB = ∠CBB₁. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB₁ + ∠CBB₁  =  90°. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A₁BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Ана­ло­гич­но из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка C₁BC на­хо­дим:

Тогда

Ответ: 125.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

По­ка­жем, что ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AC, равна по­ло­ви­не этой сто­ро­ны. Тогда угол, про­ти­во­ле­жа­щий сто­ро­не AC, равен 90°, что и тре­бу­ет­ся до­ка­зать. Дей­стви­тель­но, ме­ди­а­ны де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

При­ведём еще одно ре­ше­ние пунк­та а).

Тре­уголь­ник   — рав­но­бед­рен­ный, От­ре­зок   — вы­со­та тре­уголь­ни­ка от­ре­зок   — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, тогда пря­мые и CB па­рал­лель­ны. Зна­чит, пря­мые BC и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны по тео­ре­ме о пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой, па­рал­лель­ной пер­пен­ди­ку­ля­ру.

При­ведём еще одно ре­ше­ние пунк­та а).

По­сколь­ку точка   — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, а AC  — ее диа­метр. Тогда угол B пря­мой как опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр.

а)  Из­вест­но, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

По­это­му тре­уголь­ни­ки AB₁B и CB₁B рав­но­бед­рен­ные, причём ∠B₁AB = ∠ABB₁ и ∠B₁CB = ∠CBB₁. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB₁ + ∠CBB₁  =  90°. От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A₁BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Ана­ло­гич­но, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка C₁BC на­хо­дим:

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: 180.

При­ме­ча­ние.

Еще не­сколь­ко спо­со­бов до­ка­за­тель­ства пунк­та  а) при­ве­де­ны в ком­мен­та­ри­ях ниже.

а)  Из­вест­но, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

По­это­му тре­уголь­ни­ки AB₁B и CB₁B рав­но­бед­рен­ные, причём ∠B₁AB = ∠ABB₁ и ∠B₁CB = ∠CBB₁. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB₁ + ∠CBB₁  =  90°. От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A₁BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Ана­ло­гич­но, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка C₁BC на­хо­дим:

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: 125.

а)  Из­вест­но, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 :1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

По­это­му тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, причём и Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Ана­ло­гич­но, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: 80.

a)  Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AB₁B и CB₁B рав­но­бед­рен­ные, причём и Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A₁BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Тре­уголь­ник C₁BC также пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: б) 605.

a)  Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AB₁B и CB₁B рав­но­бед­рен­ные, причём и Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A₁BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Тре­уголь­ник C₁BC также пря­мо­уголь­ный. По­это­му

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

Ответ: б) 720.