Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому
Аналогично, из прямоугольного треугольника C1BC находим:
Сложим полученные равенства:
Ответ: 180.
Примечание.
Еще несколько способов доказательства пункта а) приведены в комментариях ниже.
Доказать можно проще.
Треугольник
— равнобедренный, 
Отрезок
— высота треугольника 
отрезок 
— средняя линия треугольника 
тогда 
Значит,
по теореме о перпендикулярности прямой, параллельной перпендикуляру.
Можно еще проще.
значит 
— центр описанной окружности, а 
— ее диаметр. Угол 
— прямой, как опирающийся на диаметр.
Можно ещё проще: медиана ВВ1, проведённая к стороне АС, равна ее половине, следовательно, сторона АС — гипотенуза прямоугольного треугольника, а угол, лежащий напротив нее, прямой. Треугольник АВС прямоугольный, что и требовалось доказать.