Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 8.
Решение.
Спрятать критерии а) Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 :1, считая от вершины. Значит,
Поэтому треугольники 
и 
равнобедренные, причём 
и 
Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда 
Отсюда следует, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Треугольник 
прямоугольный. Поэтому
Аналогично, из прямоугольного треугольника 
находим:
Сложим полученные равенства:
Ответ: 80.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства