Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 639147
i

В тре­уголь­ни­ке ABC ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC  =  3MB.

а)  До­ка­же­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если из­вест­но, что AC  =  24.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

B B_1= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби B M= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби A C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A C .

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AB1B и CB1B рав­но­бед­рен­ные, причём \angle B_1 A B=\angle A B B_1 и \angle B_1 C B=\angle C B B_1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда

\angle A B C=\angle A B B_1 плюс \angle C B B_1=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Тре­уголь­ник A1BA пря­мо­уголь­ный. По­это­му

A A_1 в квад­ра­те =A_1 B в квад­ра­те плюс B A в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби C B в квад­ра­те плюс B A в квад­ра­те .

Тре­уголь­ник C1BC также пря­мо­уголь­ный. По­это­му

C C_1 в квад­ра­те =C_1 B в квад­ра­те плюс B C в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A B в квад­ра­те плюс B C в квад­ра­те .

Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:

A A_1 в квад­ра­те плюс C C_1 в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A B в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби B C в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка A B в квад­ра­те плюс B C в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби A C в квад­ра­те =720.

Ответ: б) 720.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505537: 509588 509609 511579 ... Все

Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026