Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.
Из рисунка видно, что площадь шестиугольника 
равна сумме площадей 
Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия 
его площадь 
Пусть K — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда 
— медиана треугольника AB1C1. Заметим, что 
Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны 
Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна 
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
а 
Пусть L — середина отрезка AB1. Поскольку A2 — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C1. Значит, 
Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому 
и 
Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен 
Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: 
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
и 
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 
откуда 
Аналогично доказывается, что 
а 
Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.
a 
Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника АВМ, значит,
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 2, BC = 5 и AC = 6.
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
Медианы AA1, BB1, и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
