На­пом­ним, что если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

Таким об­ра­зом, функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ках [−5; −3] и [3; 5] и убы­ва­ет на от­рез­ке [−3; 3].

Из этого сле­ду­ет, что f при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние на левой гра­ни­це от­рез­ка, в точке −5, или в точке ми­ни­му­ма х_min  =  3. В силу воз­рас­та­ния f на от­рез­ке [3; 5] спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство f (5) > f (3). По­сколь­ку по усло­вию f (−5) не мень­ше, чем f (5), спра­вед­ли­ва оцен­ка f (−5) > f (3).

Таким об­ра­зом, наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция f до­сти­га­ет в точке 3. Гра­фик одной из функ­ций, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, при­ведён на ри­сун­ке.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние Б. М. Бек­ке­ра (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

Не­пре­рыв­ность функ­ции на кон­цах от­рез­ка су­ще­ствен­на. Дей­стви­тель­но, если бы функ­ция f имела в точке 5 раз­рыв пер­во­го рода (см. рис.), зна­че­ние f (5) могло ока­зать­ся мень­ше зна­че­ния f (3), а тогда наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [−5; 5] яв­ля­лось бы зна­че­ние функ­ции в точке 5.

При­ме­ча­ние пор­та­ла РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удив­ле­ны, об­на­ру­жив это за­да­ние в эк­за­ме­на­ци­он­ной ра­бо­те до­сроч­но­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.04.2014 г. Это не­про­стое за­да­ние от­сут­ству­ет в От­кры­тых бан­ках за­да­ний, что, не­со­мнен­но, ока­за­лось не­при­ят­ным сюр­при­зом для вы­пуск­ни­ков.

При­ме­ча­ние Алек­сандра Ла­ри­на (Москва).

В этой за­дач­ке весь ужас «вы­стре­лил вхо­ло­стую», 99,9999% ре­ша­ю­щих даже и не об­ра­тят вни­ма­ние на по­тен­ци­аль­ную угро­зу  — ответ-⁠то по­лу­ча­ет­ся такой же. А про со­от­но­ше­ние зна­че­ний на гра­ни­цах и уж тем более про не­пре­рыв­ность никто чи­тать и не со­би­ра­ет­ся :-) А вот если усло­вие слег­ка по­ме­нять, то «минус балл» всей стра­не обес­пе­чен будет.

Функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ке [−2; 1] и на по­лу­ин­тер­ва­ле [3; 5) и убы­ва­ет на по­лу­ин­тер­ва­ле (−4; −2] и на от­рез­ке [1; 3]. Cмена знака про­из­вод­ной с от­ри­ца­тель­но­го на по­ло­жи­тель­ный со­от­вет­ству­ет точке ми­ни­му­ма.

Схе­ма­тич­но изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шее зна­че­ние дан­ная функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках ми­ни­му­ма. Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке

Ответ: −2.

Функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ке [−2; 0] и на по­лу­ин­тер­ва­ле [3; 4) и убы­ва­ет на от­рез­ке [−5; −2] и на от­рез­ке [0; 3].

Схе­ма­тич­но изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шее зна­че­ние дан­ная функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках ми­ни­му­ма. Учи­ты­вая усло­вие имеем:

Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет в точке

Ответ: −2.

Функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на по­лу­ин­тер­ва­ле от­рез­ке (−10; −9] и на от­рез­ке [−5; −2] и убы­ва­ет на от­рез­ке [−9; −5] и на по­лу­ин­тер­ва­ле [−2; 2).

Схе­ма­тич­но изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­боль­шее зна­че­ние дан­ная функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках мак­си­му­ма. Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке

Ответ: −2.