а)  Да. На­при­мер, Коля умно­жил 6 на 7, по­лу­чив 42, а Вова умно­жил 6 на 8, по­лу­чив 48. Мо­дуль раз­но­сти по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний равен 6.

б)  За­ме­тим, что про­из­ве­де­ние по­сле­до­ва­тель­ных чисел все­гда четно, по­сколь­ку одно из них четно. Таким об­ра­зом, Ко­ли­но про­из­ве­де­ние будет чет­ным. Во­ви­но же про­из­ве­де­ние четно в силу того, что он пе­ре­мно­жа­ет два чет­ных числа. Зна­чит, и мо­дуль раз­но­сти чисел a и b будет чет­ным. Таким об­ра­зом, он не может быть равен 13.

в)  Как было по­ка­за­но в пунк­те б), мо­дуль раз­но­сти будет чет­ным. По­ка­жем, что он не может быть равен нулю. Пусть Коля пе­ре­мно­жал числа x и а Вова  ― числа y и Тогда, если мо­дуль раз­но­сти их про­из­ве­де­ний равен нулю, имеем:

За­ме­тим, что по­сколь­ку С дру­гой сто­ро­ны, по­сколь­ку

Итак, но на­ту­раль­ное число не может ле­жать между двумя со­сед­ни­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Зна­чит, мо­дуль раз­но­сти не может рав­нять­ся Тогда он не мень­ше по­сколь­ку четен.

По­ка­жем, что он может при­ни­мать любое чет­ное на­ту­раль­ное зна­че­ние. Пусть Коля умно­жил чет­ное число n на а Вова умно­жил n на Тогда мо­дуль раз­но­сти их про­из­ве­де­ний равен:

Ввиду того, что n  ― любое чет­ное на­ту­раль­ное число, ис­ко­мый мо­дуль раз­но­сти может при­ни­мать любое чет­ное на­ту­раль­ное зна­че­ние.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  все чет­ные на­ту­раль­ные числа.

а)  Да, на­при­мер, Петя умно­жил 8 на 9, по­лу­чив 72, а Вася умно­жил 8 на 10, по­лу­чив 80. Мо­дуль раз­но­сти по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний равен 8.

б)  За­ме­тим, что про­из­ве­де­ние по­сле­до­ва­тель­ных чисел все­гда четно, так как одно из них четно. Таким об­ра­зом, Пе­ти­но про­из­ве­де­ние будет чет­ным. Ва­си­но же про­из­ве­де­ние четно в силу того, что он пе­ре­мно­жа­ет два чет­ных числа. Зна­чит, и мо­дуль раз­но­сти чисел a и b будет чет­ным, таким об­ра­зом, он не может быть равен 11.

в)  Как было по­ка­за­но в пунк­те б) мо­дуль раз­но­сти будет чет­ным. По­ка­жем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя пе­ре­мно­жал числа x и а Вася ― числа y и Тогда, если мо­дуль раз­но­сти их про­из­ве­де­ний равен нулю, имеем:

За­ме­тим, что так как С дру­гой сто­ро­ны, так как

Итак, но на­ту­раль­ное число не может ле­жать между двумя со­сед­ни­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Зна­чит, мо­дуль раз­но­сти не может рав­нять­ся 0. Тогда он не мень­ше 2, так как четен.

По­ка­жем, что он может при­ни­мать любое чет­ное на­ту­раль­ное зна­че­ние. Пусть Петя умно­жил чет­ное число n на а Вася умно­жил n на Тогда мо­дуль раз­но­сти их про­из­ве­де­ний равен:

ввиду того, что n ― любое чет­ное на­ту­раль­ное число, то ис­ко­мый мо­дуль раз­но­сти может при­ни­мать любое чет­ное на­ту­раль­ное зна­че­ние.

Ответ: а) да; б) нет; в) все чет­ные на­ту­раль­ные числа.