Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 504834

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например, Петя умножил 8 на 9, получив 72, а Вася умножил 8 на 10, получив 80. Модуль разности полученных произведений равен 8.

 

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Петино произведение будет четным. Васино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 11.

 

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя перемножал числа x и x плюс 1, а Вася ― числа y и y плюс 2. Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

x(x плюс 1)=y(y плюс 2) равносильно x в степени 2 плюс x=y в степени 2 плюс 2y равносильно x в степени 2 плюс x плюс 1=(y плюс 1) в степени 2 .

Заметим, что x меньше y плюс 1, так как x в степени 2 меньше (y плюс 1) в степени 2 С другой стороны, y плюс 1 меньше x плюс 1, так как (y плюс 1) в степени 2 =x в степени 2 плюс x плюс 1 меньше (x плюс 1) в степени 2 .

Итак, x меньше y плюс 1 меньше x плюс 1, но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Петя умножил четное число n на n плюс 1, а Вася умножил n на n плюс 2. Тогда модуль разности их произведений равен:

n(n плюс 2) минус n(n плюс 1)=n.

ввиду того, что n ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.


Аналоги к заданию № 504855: 504834 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Дмитрий 15.11.2018 21:36

Пункт в) можно решить проще. Пусть 1-е натуральное число x, а соседнее с ним x+1, тогда a=x(x+1).

Пусть 2-е натуральное число y (четное), а соседнее с ним четное y+2, тогда b=y(y+2).

Отсюда

 

b-a=y(y+2)-x(x+1)=y^2+2y-x^2-x=

=y^2-x^2+y-x+y=(y-x)(y+x)+(y-x)+y=

=(y-x)(y+x+1)+y.

 

Поскольку в условии не говорится, что x и y различны, выберем x=y, получим b-a=y.

Поскольку y -- любое четное число, то и b -- любое четное число. А то, что b не может быть нечетным, доказано в пункте б).