СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 504834

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Решение.

а) Да, например, Петя умножил 8 на 9, получив 72, а Вася умножил 8 на 10, получив 80. Модуль разности полученных произведений равен 8.

 

б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Петино произведение будет четным. Васино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 11.

 

в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя перемножал числа и , а Вася ― числа и Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

Заметим, что так как С другой стороны, , так как

Итак, , но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Петя умножил четное число на а Вася умножил на Тогда модуль разности их произведений равен:

ввиду того, что ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.


Аналоги к заданию № 504855: 504834 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Числа и их свойства
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Дмитрий 15.11.2018 21:36

Пункт в) можно решить проще. Пусть 1-е натуральное число x, а соседнее с ним x+1, тогда a=x(x+1).

Пусть 2-е натуральное число y (четное), а соседнее с ним четное y+2, тогда b=y(y+2).

Отсюда

 

b-a=y(y+2)-x(x+1)=y^2+2y-x^2-x=

=y^2-x^2+y-x+y=(y-x)(y+x)+(y-x)+y=

=(y-x)(y+x+1)+y.

 

Поскольку в условии не говорится, что x и y различны, выберем x=y, получим b-a=y.

Поскольку y -- любое четное число, то и b -- любое четное число. А то, что b не может быть нечетным, доказано в пункте б).