Пусть ко­ли­че­ства еди­ниц, двоек, троек и четвёрок среди a₁, a₂, ..., a₃₅₀ равны m₁, m₂, m₃, m₄ со­от­вет­ствен­но. Тогда

а)  По усло­вию

Зная, что и решая си­сте­му ли­ней­ных, на­хо­дим: m₁  =  282, m₂  =  7, m₃  =  27, m₄  =  34. Зна­чит,

б)  Если где то В по­след­нем ра­вен­стве левая часть крат­на 5, а пра­вая  — нет, по­это­му S₄ не может быть рав­ным 4547.

в)  Если где то Кроме того, по­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Вы­чтем из пер­во­го по­лу­чен­но­го ра­вен­ства вто­рое:

Зна­чит, m₄ де­лит­ся на 5 и может рав­нять­ся толь­ко 0 или 5. При m₄  =  0 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

При m₄  =  5 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ответ: а)  11 285; б)  нет; в)  905 или 917.

Пусть ко­ли­че­ства еди­ниц, двоек, троек и чет­ве­рок среди равны со­от­вет­ствен­но. Тогда и

а)  По усло­вию

Решая си­сте­му из че­ты­рех урав­не­ний с че­тырь­мя не­из­вест­ны­ми, на­хо­дим:

б)  Если где то

В по­след­нем ра­вен­стве левая часть крат­на 5, а пра­вая - нет, по­это­му не может быть рав­ным 6547.

в)  Если где то

Кроме того, по­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Вы­чтем из пер­во­го по­лу­чен­но­го ра­вен­ства вто­рое : Зна­чит, де­лит­ся на 5 и может рав­нять­ся толь­ко 0 или 5.

При по­лу­ча­ем:

При по­лу­ча­ем:

Ответ: a) 19995; б) нет; в) 1371 или 1383.