а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

Тогда ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен А пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды есть пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды умно­жить на ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. От­сю­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы

Ответ:

Ука­жем дру­гой путь на­хож­де­ния ра­ди­у­са.

Объем пи­ра­ми­ды равен

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Тогда

а)  Пусть   — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

Дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен углу MNH. Далее за­ме­тим, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MNH катет, ле­жа­щий на­про­тив угла MNH, вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, а зна­чит ис­ко­мый угол равен

б)  В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки MOK и по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

Тогда ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен А пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды есть пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды умно­жить на ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. От­сю­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы

Ответ: