а)  Так как пе­ри­метр равен 4000, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 1000, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 1 000 000.

б)  Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна x тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число x не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число x от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 1999. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в)  Пусть a  ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000, по­лу­ча­ем:

a и n ― целые числа, по­это­му число 200 000 крат­но числу

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа 200 000, мень­шие 200, но боль­шие 100. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни не пре­вос­хо­дят 6 и 5.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1)  Число не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более чем ше­стой. Но тогда оно не пре­вос­хо­дит 64, что мень­ше 100.

2)  Число де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Из чисел вида в ис­ко­мый про­ме­жу­ток по­па­да­ет толь­ко число В этом слу­чае а пло­щадь равна 937 500.

3)  Число де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 де­лит­ся на 3, а 175 де­лит­ся на 7, зна­чит, они оба не яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми числа 200 000. Если же 100 + n  =  125, то a  =  1600, а пло­щадь равна 640 000.

Ответ: а)  1 000 000; б)  1999; в)  937 500 или 640 000.

а)  Так как пе­ри­метр равен 200, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 50, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 2500.

б)  Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна x тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число x не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число x от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 99. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в)  Пусть a ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100, по­лу­ча­ем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 крат­но числу a.

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа 10 000, мень­шие 50. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни не пре­вос­хо­дят 4.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1)  Число a не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более, чем чет­вер­той, т. е. a может при­ни­мать зна­че­ния 1, 2, 4, 8 или 16, а пло­щадь при этом будет равна, со­от­вет­ствен­но, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2)  Число a де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Пло­щадь в этих слу­ча­ях будет равна 475, 900, 1600 или 2400 со­от­вет­ствен­но.

3)  Число a де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно толь­ко 25. Тогда пло­щадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875, 2400.

а)  Так как пе­ри­метр равен 200, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 50, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 2500.

б)  Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число x не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число x от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 99. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в)  Пусть a ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100, по­лу­ча­ем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 крат­но a.

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа , мень­шие 50. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем каж­дый из этих со­мно­жи­те­лей может быть в сте­пе­ни, не пре­вос­хо­дя­щей 4.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1)  Число a не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более, чем чет­вер­той, т. е. a может при­ни­мать зна­че­ния 1, 2, 4, 8 или 16, а пло­щадь при этом будет равна, со­от­вет­ствен­но, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2)  Число a де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Пло­щадь в этих слу­ча­ях будет равна, со­от­вет­ствен­но, 475, 900, 1600 или 2400.

3)  Число a де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно толь­ко 25. Тогда пло­щадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.