Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б)  При­ве­дем ра­вен­ство к виду По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в_{оцен­ка}) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да По­сколь­ку по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в_{при­мер}) При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  44; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  17.

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 9, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 9. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 36 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 16.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз на­пи­са­но число 9, 18 раз на­пи­са­но число −18 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

Ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  36; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  16.

Ре­ше­ние. Пусть на лиcточке за­пи­са­но x чисел, боль­ших 13, y чисел, мень­ших 13 и z чисел, рав­ных 13. Тогда суммы их равны со­от­вет­ствен­но 35x, −20y (по опре­де­ле­нию сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го) и 13z. Сумма всех этих чисел равна

а)  Из урав­не­ния по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, крат­но 11. Есть толь­ко одно число от 100 до 115, крат­ное 11, это 110. Зна­чит,

б)  Из преды­ду­ще­го пунк­та по­лу­ча­ем:

сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да то есть Тогда

Если то от­ку­да Зна­чит,

что не­воз­мож­но.

в)  По усло­вию от­ку­да то есть Кроме того, число x крат­но 3, иначе   — не­це­лое число. Мак­си­маль­ное под­хо­дя­ще x равно 51, тогда y  =  54 и z  =  5.

Такая си­ту­а­ция воз­мож­на, на­при­мер, для на­бо­ра из 51 числа 35, 54 чисел −20 и 5 чисел 13.

Ответ: а)  110; б)  нет, не может; в)  51.

Ре­ше­ние. a)  На­пом­ним, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское не­сколь­ких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их ко­ли­че­ство. Пусть на доске на­пи­са­но n чисел. Тогда их сумма: S = −7n. Обо­зна­чим: p  — ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел, m  — ко­ли­че­ство от­ри­ца­тель­ных чисел, z  — ко­ли­че­ство нулей. Таким об­ра­зом, n = p + m + z.

Пусть S₊ и S₋  — суммы по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел со­от­вет­ствен­но. Имеем:

S₊ = 6p, S₋ = −12m, и так как S = S₊ + S₋, то: −7n = 6p − 12m. Пра­вая часть дан­но­го ра­вен­ства де­лит­ся на 6. По­сколь­ку 6 и 7 вза­им­но про­сты, число n де­лит­ся на 6. Между чис­ла­ми 42 и 54 есть толь­ко одно такое число: n = 48.

б)  Из ра­вен­ства −7 · 48 = 6p − 12m по­лу­ча­ем после со­кра­ще­ния на 6: 2m − p = 56. Кроме того: p + m + z = 48. Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства: 3m + z = 104. Так как 104 при де­ле­нии на 3 дает оста­ток 2, число z также даёт оста­ток 2: z = 3k + 2. От­сю­да: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 − k.

Со­от­вет­ствен­но, p = 2m − 56 = 2(34 − k) − 56 = 12 − 2k.

Со­став­ля­ем раз­ность: p − m = (12 − 2k) − (34 − k) = −22 − k < 0, так что p < m  — от­ри­ца­тель­ных чисел на­пи­са­но боль­ше.

в)  Из ра­вен­ства p = 12 − 2k видим, что При­ведём при­мер с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34). Пусть на­пи­са­но 12 чисел 6, 34 числа −12 и два нуля. Этот набор удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи: сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­ло­жи­тель­ных чисел равно, оче­вид­но, 6; сред­нее ариф­ме­ти­че­ское от­ри­ца­тель­ных чисел равно −12, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел:

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел равно 12

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 5k − 5l + 0 · m  =  −4(k + l + m).

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 5, по­это­му k + l + m  — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 5. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m  =  45. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 45 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство 5k − 5l  =  −4(k + l + m) к виду l  =  9k + 4m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что l ≥ 9k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  Под­ста­вим k + l + m  =  45 в пра­вую часть ра­вен­ства 5k − 5l  =  −4(k + l + m), от­ку­да k  =  l − 36 . Так как k + l ≤ 45, по­лу­ча­ем: 2l − 36 ≤ 45, 2l ≤ 81, l ≤ 40, k  =  l − 36 ≤ 4, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 4.

в)  При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 4. Пусть на доске 4 раза на­пи­са­но число 5, 40 раз на­пи­са­но число −5 и один раз на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 45; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 4.

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 7, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 7. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 49 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, по­ло­жи­тель­ных чисел боль­ше, чем от­ри­ца­тель­ных.

в)  (оцен­ка). Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да Так как по­лу­ча­ем: то есть от­ри­ца­тель­ных чисел не более 22.

в)  (при­мер). При­ведём при­мер, когда от­ри­ца­тель­ных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз на­пи­са­но число 14, 22 раза на­пи­са­но число и два раза на­пи­сан 0. Тогда удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 49; б) по­ло­жи­тель­ных; в) 22.

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 6, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 6. По усло­вию по­это­му

Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 42 числа.

б)  При­ведём ра­вен­ство к виду

Так как по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  (оцен­ка) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства

от­ку­да

Так как по­лу­ча­ем:

то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 15.

в)  (при­мер) При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз на­пи­са­но число 6, 25 раз на­пи­са­но число −12 и два раза на­пи­сан 0.

Тогда

ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет веем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 42; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 15.