Точка D лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB, по­это­му ∠CDA  =  90°. Ана­ло­гич­но, ∠BDA  =  90°. Сле­до­ва­тель­но, точка D лежит на пря­мой BC.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка D лежит либо на от­рез­ке BC (рис. 1), либо

на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку C, так как угол ACB  — ост­рый.

По­ло­жим DB  =  t, DC  =  3t. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ADC и ADB на­хо­дим:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По тео­ре­ме си­ну­сов то есть от­ку­да

Во вто­ром слу­чае от­ку­да

По­сколь­ку BC < AC, по­лу­ча­ем: ∠BAC < ∠ABC, зна­чит, ∠BAC  — ост­рый и равен или

Ответ:

Точка D лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB, по­это­му ∠CDA  =  90°. Ана­ло­гич­но, ∠BDA  =  90°. Сле­до­ва­тель­но, точка D лежит на пря­мой BC.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка D лежит либо на от­рез­ке BC (рис. 1), либо

на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку C, так как угол ACB  — ост­рый.

По­ло­жим DB  =  2t, DC  =  3t. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ADC и ADB на­хо­дим:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По тео­ре­ме си­ну­сов то есть от­ку­да

Во вто­ром слу­чае от­ку­да

По­сколь­ку BC < AC, по­лу­ча­ем: ∠BAC < ∠ABC, зна­чит, ∠BAC  — ост­рый и равен или

Ответ:

Точка D лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB, по­это­му Ана­ло­гич­но, Сле­до­ва­тель­но, точка D лежит на пря­мой

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ADC и ADB на­хо­дим:

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай. Точка D лежит на от­рез­ке BC (рис. 1). По тео­ре­ме си­ну­сов то есть от­ку­да

Вто­рой слу­чай. Точка D лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку C, так как угол ACB  — ост­рый. от­ку­да

По­сколь­ку по­лу­ча­ем: зна­чит,   — ост­рый и равен или

Ответ:

Пусть BD = х, тогда по усло­вию DC = 6х.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах АВ и АС как на диа­мет­рах, зна­чит, точки B,С и D лежат на одной пря­мой. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ник ABD:

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми B и С, зна­чит, По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ:

Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  3x.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки В, С и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  60°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  2x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми В и С, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  4х.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ: или

Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  4x.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки В, С и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  60°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  3x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми В и С, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  5х.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ: или

Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  3x. По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки B, C и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  30°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  2x. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем: AB  =  BC  =  2x, зна­чит, он рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AC, сле­до­ва­тель­но, ∠A = ∠C  =  30°, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми B и C, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  4x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: или 1.