Найдите все значения a, при которых уравнение 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
При 
уравнение не имеет неотрицательных корней, поскольку его левая часть неположительна, а правая положительна. Определим, для 
графики функции 
и 
имеют ровно две общие точки на области x > 0.
График функции ― гипербола, её горизонтальная асимптота y = 0, вертикальная асимптота x = −1. При всех график модуля пересекает гиперболу в точке, абсцисса которой больше числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два неотрицательных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одной второй точки пересечения на промежутке [0; 4). Заметим, что на этом промежутке 
Абсциссы общих точек прямой y = a(4 − x) и гиперболы определяются уравнением
Касанию соответствует нуль дискриминанта полученного квадратного уравнения:
Дискриминант равен нулю при единственном положительном значении параметра 
Абсцисса точки касания при таком значении а действительно положительна: 
(а значит, рисунок верен, и найденное значение параметра подходит).
Определим значение параметра, при котором прямая 
проходит через точку (0; 5). Поскольку 
находим: 
Следовательно, при 
на промежутке [0; 4) график модуля пересекает гиперболу в двух точках, а при 
лишь в одной точке.
Итак, при 
и при 
уравнение имеет ровно два неотрицательных решения.
Ответ: при и при 
Приведём авторское решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем 
на промежутке 
При все значения функции 
на промежутке неположительны, а все значения функции 
— положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При функция возрастает на промежутке 
Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке 
поскольку 
и 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть 
Тогда оба корня меньше 
поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 
а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке 
:
1) Нет корней при 
2) Один корень при 
3) Два корня при и
4) Три корня при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и при Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Заметим, что при
уравнение не имеет неотрицательных корней, так как его правая часть неположительна, а левая положительна. Рассмотрим случай 
Левая часть уравнения — гипербола 
правая часть уравнения — 
пучок лучей, выходящих из точки (3; 0) и симметричных относительно прямой 
Более двух неотрицательных решений, а именно, три в случае, когда 
лежит выше точки касания, но не выше точки 
Рассмотрим случай касания:
Чтобы прямая касалась гиперболы, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю:
Итак, касанию соответствует 
при этом абсцисса точки касания положительна: 
Выясним, при каких значениях параметра график лежит не выше точки 
Таким образом, данное уравнение будет иметь более двух неотрицательных корней, при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при которых уравнение 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем на промежутке 
При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке
При функция возрастает на промежутке 
Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке поскольку 
а 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть 
Тогда оба корня меньше 5, поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
1) Нет корней при 
2) Один корень при 
3) Два корня при и 
4) Три корня при 
Ответ: 
Решим данную задачу графически.
Построим графики функций 
и 
на промежутке График функции представляет собой часть гиперболы, график функции — график функции 
растягиваемый в a раз.
Из графика видно, что при 
решений нет. Ровно два решения возможно, когда является касательной к в некоторой точке H (cм. рис.), соответственно второе решение — пересечение и в точке H1. Поэтому:
Поскольку в точке H необходимо касание, то у квадратного уравнения 
дискриминант должен быть равен нулю. 
По условию 
не подходит. Таким образом, до 
и 
уравнение имеет либо 0, либо 3 решения.
Стоит отметить, что при 
функция будет пересекать в точке (0; 2) и, следовательно, будет 3 решения. Найдем значение a, при котором будет три пересечения на промежутке : 
Тогда при 
будет всего два решения, поскольку будет всего два пересечения.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх