Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
Заметим, что CB = CO = CD, поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA, OC и OE за точки A, C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A1, C1, E1. Тогда OA1 = OC1 = OE1 = 14 — диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A1, C1 и E1, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и DOF. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора 
или
Ответ: 14, 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABС равен 120°, а основание AC = 10,5, значит,
Треугольники AOB, COD, и EOF — равносторонние со стороной 
поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Пусть ОK, ОL и ОM — диаметры описанных окружностей треугольников AOB, СOD и EOF соответственно, OK = OL = OM = 7. Окружность S с центром O, проходящая через точки K, L и M, касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника CОD и внешним образом — описанных окружностей треугольников AOB и EОF. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника AOB на прямую OL. Тогда
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому 
По теореме Пифагора 
или
откуда находим x = 3.
Ответ: 7; 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка O — центр правильного шестиугольника 
со стороной 
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников 
и 
Заметим, что
поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника 
Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки 
и OE за точки 
и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках 
Тогда 
— диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки 
и 
касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и 
Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду 
Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора или
Ответ: 28, 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх