При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
имеет решения?
Ясно, что при 
система имеет единственное решение
которое выражается через a и c однозначно, то есть существует для любых a и 
При 
если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим
Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то
получим
Таким образом, исходная система равносильна системе
Первое уравнение полученной системы позволяет получить у по х. Следовательно, система имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения второе уравнение.
Уравнение 
имеет единственное решение при любом 
Если 
или 
то уравнение принимает вид 
и 
соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При 
они не выполняются ни при каких значениях параметров. При 
рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: 
и 
Решая неравенства, находим 
и 
Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: 
Ответ:
Приведём решение Николая Александрова.
Данную систему уравнений можно рассмотреть как систему двух уравнений прямых 
и 
После преобразований получим: 
и 
Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: 
и 
Находим: 
и 
Из первого уравнения находим 
Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: 
и 
Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий 
и 
получаем 
При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.
Проверьте себя.
Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра с данная система уравнений будет иметь решения для любых значений параметра b? См. задачу 527046.
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра c система уравнений
имеет решения для любых значений параметра b?
Выразим x из второго уравнения и подставим в первое. Получим
Если уравнение (1) имеет решение относительно y, то из уравнения (2) найдем соответствующее значение х. Тем самым, существование и количество решений заданной системы зависит от уравнения (1).
Уравнение (1) должно выполняться хотя бы для одного значения с при всех b. Рассмотрим 
и 
:
Полученная совокупность систем не имеет решений. Следовательно, ни при каких a уравнение (1) не имеет решений ни для одного с даже для двух значений 
и 
Следовательно, не существует таких значений а, при которых хотя бы при одном c система уравнений имеет решения для любых значений b.
Ответ: ни при каких.
Проверьте себя.
Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений имеет решения?» См. задачу 484634.
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
имеет решения?
Ясно, что при система имеет единственное решение
которое выражается через a и c однозначно, то есть существует для любых a и
При если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь
Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то
Таким образом, исходная система равносильна системе
При любом 
полученная система имеет единственное решение.
Если то система будет иметь решения если существуют a и c удовлетворяющие уравнению 
Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если 
и 
т. е. если 
При приходим к рассмотрению уравнения 
Решая неравенство 
где находим, что
Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Наверх