ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 484570 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Куб, Построения в пространстве, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1.

а)  Докажите, что $BD_1\perp AC.$

б)  Найдите расстояние от точки C до прямой BD₁.

Решение.

а)  Проекция $BD_1$ на плоскость ABCD  — это прямая $BD.$ $BD\perp AC$ (диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, $BD_1\perp AC.$

б)  Проведем отрезок CD₁ и опустим перпендикуляр CH на BD₁.

Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD₁ с прямым углом C:

$CH= дробь: числитель: 2S_BCD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: CD_1 умножить на BC, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 484570: 507651 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 507651 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Куб, Построения в пространстве, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1.

а)  Докажите, что расстояние от точки C до плоскости $ADD_1$ меньше, чем расстояние от точки C до прямой $AD_1.$

б)  Найдите расстояние от точки C до прямой AD₁

Решение.

Проведем отрезки CD₁ и AC.

а)  Проекция точки C на плоскость $ADD_1$   — точка $D.$ Пусть H − проекция C на $AD_1.$ Треугольник CDH прямоугольный с гипотенузой CH, поэтому $CD меньше CH.$

б)  Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD₁. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD₁ со стороной $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

$CH= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 484570: 507651 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе