Ре­ше­ние. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да то есть

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит,

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны. Пусть мень­ший угол равен x°, тогда боль­ший угол равен  По­лу­ча­ем:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна пло­ща­ди по­верх­но­сти куба с реб­ром 3:

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна где C − длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а l − об­ра­зу­ю­щая. Тогда

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, в нём По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. а)  Про­ек­ция точки M на плос­кость   — это се­ре­ди­на ребра По­это­му про­ек­ция пря­мой MT на плос­кость па­рал­лель­на пря­мой по тео­ре­ме о сред­ней линии. Зна­чит, она пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и пря­мая MT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой

б)  Пусть P  — се­ре­ди­на ребра а Q  — се­ре­ди­на ребра За­ме­тим, что PMQT  — тра­пе­ция, по­сколь­ку

По­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что Про­длим пря­мые MQ и PT и обо­зна­чим точку их пе­ре­се­че­ния В тре­уголь­ни­ке MNP зна­чит, QT яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей, и T  — се­ре­ди­на Тре­уголь­ник MNP пра­виль­ный. MT  — ме­ди­а­на и вы­со­та. Зна­чит, PT  — пер­пен­ди­ку­ляр к MT и ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем от­ре­зок CC₁, па­рал­лель­ный BD, че­ты­рех­уголь­ник BCC₁D  — па­рал­ле­ло­грамм. В тре­уголь­ни­ке ACC₁:

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник ACC₁  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом Тогда что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ник две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны диа­го­на­лям тра­пе­ции, а тре­тья сто­ро­на равна сумме её ос­но­ва­ний, рав­но­ве­лик дан­ной тра­пе­ции. По­это­му

Ответ: б) 30.

Ре­ше­ние. Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких квад­ра­тов и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

При­ме­ча­ние.

Этот четырёхуголь­ник  — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. Диа­го­на­ли ромба можно найти по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, они равны и По­это­му пло­щадь равна 32.

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 2 и 4 най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга: см² (см. рис. 1). Пло­щадь фи­гу­ры равна трем вось­мым пло­ща­ди этого круга (см. рис. 2). По­это­му

Ответ: 7,5.

При­ме­ча­ние.

В от­кры­том банке это за­да­ние и ана­ло­гич­ные ему яв­ля­ют­ся кло­на­ми к за­да­нию 27562.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку абс­цисс точек A и B про­ти­во­по­лож­ны, се­ре­ди­на от­рез­ка AB лежит на оси ор­ди­нат. Тогда ис­ко­мая ор­ди­на­та на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

Ответ: −1,5.