а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани SBC. Точка L делит апо­фе­му грани SDC в от­но­ше­нии 5 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S. На диа­го­на­ли ос­но­ва­ния АС от­ме­че­на точка К такая, что АК : КС  =  3 : 4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM про­хо­дит через вер­ши­ну D.

б)  Най­ди­те объем мень­шей из ча­стей, на ко­то­рые плос­кость KLM делит пи­ра­ми­ду SABCD, если объем пи­ра­ми­ды SABCD равен 432.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 7 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет).

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  Каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года.

—  С фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

—  В пер­вые 3 года кре­ди­то­ва­ния вы­пла­ты под­би­ра­ют­ся так, чтобы долг умень­шал­ся стро­го на 1,5 млн руб­лей каж­дый год.

—  Во все по­сле­ду­ю­щие годы (на­чи­ная с 4-⁠го) вы­пла­ты долж­ны быть рав­ны­ми (ан­ну­и­тет­ны­ми) до пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

Най­ди­те, на какой мак­си­маль­ный общий срок можно взять кре­дит, чтобы общая сумма вы­плат банку не пре­вы­си­ла 12,5 млн руб­лей.

В пря­мо­уголь­ни­ке KLMN Окруж­ность ω₁ с цен­тром O₁ впи­са­на в угол MNK и ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω₂ с цен­тром в точке O₂, впи­сан­ной в угол KLM, при­чем пря­мая NO₁ ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω₂. Из­вест­но, что ра­ди­ус окруж­но­сти ω₁ от­но­сит­ся к ра­ди­у­су окруж­но­сти ω₂ как 2 : 3. Пря­мая O₁O₂ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны KL и MN в точ­ках P и R со­от­вет­ствен­но, а общая ка­са­тель­ная окруж­но­стей ω₁ и ω₂ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны LM и KN в точ­ках Q и S со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка PQRS от­но­сит­ся к пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка KLMN как 25 : 49.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков PRS и PRQ.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Трех­знач­ное не­чет­ное число n со­сто­ит из раз­лич­ных цифр и де­лит­ся на каж­дую из них.

а)  Может ли его среди его цифр быть 9?

б)  Какая у него по­след­няя цифра?

в)  Сколь­ко таких чисел су­ще­ству­ет?