Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если то есть если Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этом огра­ни­че­нии:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дит число 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся пря­мой NO₁ в точке E, а окруж­но­сти ка­са­ют­ся в точке F (см. рис.). Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁EO₂ по­лу­ча­ем:

Углы O₂O₁E и RO₁N равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му равны и их си­ну­сы: Окруж­ность ω₁ впи­са­на в угол MNK, по­это­му луч NO₁ яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой. Гра­дус­ная мера внеш­не­го угла тре­уголь­ни­ка равна сумме гра­дус­ных мер двух не смеж­ных с ним углов, сле­до­ва­тель­но,

От­сю­да по­лу­ча­ем:

Углы MRP и KPR равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых MN и KL се­ку­щей RP. Общая ка­са­тель­ная к двум окруж­но­стям пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, по­это­му пря­мые SQ и O₁O₂ пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник SKPF можно впи­сать в окруж­ность, а по­то­му

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

б)  Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков с общим ос­но­ва­ни­ем от­но­сят­ся как длины про­ве­ден­ных к этому ос­но­ва­нию высот: Пусть Ана­ло­гич­но до­ка­зан­но­му в пунк­те а) по­лу­ча­ем, что лучи SO₁ и QO₂  — бис­сек­три­сы углов NSF и FQL со­от­вет­ствен­но, то есть Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. а)  Если среди его цифр есть 9, то оно де­лит­ся на 9. Тогда и сумма его цифр де­лит­ся на 9, при этом она боль­ше 9 и мень­ше 27, так как в числе не может быть ни двух нулей, ни трех де­вя­ток. Зна­чит, она равна 18, сумма осталь­ных двух цифр равна 9 и одна из них четна. Но не­чет­ное число не может де­лить­ся на чет­ную цифру.

б)  Все де­ли­те­ли не­чет­но­го числа тоже не­чет­ны, а де­вят­ки среди цифр нет со­глас­но пунк­ту а). Сле­до­ва­теь­но, можно ис­поль­зо­вать толь­ко цифры 1, 3, 5, 7. Если среди цифр нет пя­тер­ки, то число со­сто­ит из цифр 1, 3, 7, имеет сумму цифр 11 и по­то­му не крат­но трем  — про­ти­во­ре­чие. Если же пя­тер­ка есть, то число долж­но де­лить­ся на 5 и по­то­му пя­тер­ка стоит на по­след­нем месте.

в)  Из пунк­та б) сле­ду­ет, что до­ста­точ­но про­ве­рить числа 135, 315, 175, 715, 735, 375. Среди них 375 и 715 не крат­ны 7, а осталь­ные 4 числа под­хо­дят.

Ответ: а)  нет; б)  5; в)  4 числа.