PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. Решение 1.
а) Последовательно получаем:
б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.
Покажем, что 
Действительно, 
— неравенства очевидные.
Итак, искомыми корнями уравнения являются числа вида: 
Ответ: а) 
б) 
Решение 2.
а) Преобразуем уравнение
При этих x будет 
поэтому посторонних корней не будет.
б) Промежутку принадлежат 
(заметим, что 
).
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) а) б) б) а) б) 
N(0; 2; 2), O1(0; 0; 4); A(0; −2; 0); A1(0; −2; 4); 
Итак, искомое уравнение имеет вид: 
или 
Найдем уравнение прямой A1B1. Оно при z = 4 будет иметь вид: 
Проекцию точки Q на нижнее основание призмы обозначим Q1, 
а нижнего основания призмы: 
Пусть угол между сечением и нижним основанием призмы будет φ, тогда: 
по гипотенузе, равной 2, и острому углу 60°. Следовательно, 
так как они прямоугольные, у них: 
как вертикальные, C1N = CN по условию, откуда: 
тогда: 
будем рассматривать только на множестве 
Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2). 
(Рис.1)
что и требовалось доказать.
(См. рис. 2).
то 
то 
Тогда за 1 день первая бригада выполнит 1/x часть, вторая — 1/у часть, третья — 1/z часть задания.
Следовательно, 
имеет ровно два различных корня.
и произведение 
при этом имеет любое значение, принадлежащее R, то заданное уравнение обращается в истинное высказывание. 
имеет ровно один положительный корень, отличный от 1. 
Эти корни уже заведомо противоположны по знаку, за исключением одного случая — когда они оба равны нулю. Однако, решения исходного уравнения не могу быть равными нулю. Отсюда: значение а, при котором, 
т. е. 
не подойдет.
ни 
не могут равняться 1. А это значит, что 
и 
Других ограничений на значения а не будет.
образуют арифметическую прогрессию.
имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите x, если известно, что один из членов этой прогрессии равен −0,8.
- корни уравнения 
то 
(1), 
(2), 
(3) Если 
образуют арифметическую прогрессию, то 
Значит, 
поэтому 
Из равенства (2) получаем, что 
то есть 
Поэтому корни уравнения равны 
Из равенства (3) получаем 
то есть расположены симметрично относительно нуля. Если они образуют арифметическую прогрессию, то их можно представить как 
Из теоремы Виета получаем, что 
и 
Из этих равенств следует, что 
и 
Отсюда, в свою очередь, следует, что 
Решая эти два уравнения, получаем, что 
или 
и 
Из этих равенств следует, что 
и 
Отсюда, в свою очередь, следует, что 
Решая эти два уравнения, получаем, что 
или 
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, -0,8 равен первый или третий член прогрессии. 
Тогда рассмотрим 2 варианта:
Тогда 
Тогда 
Получается арифметическая прогрессия. В этому случае 
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии не получается.
Тогда рассмотрим 2 варианта:
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии не получается.
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии снова не получается.
б) 
в) 
г)