Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: \left| ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 2\log _2x минус 6 | минус \left| ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 6 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус \log конец ар­гу­мен­та _2x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x конец дроби боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­на пе­ре­мен­ной: пусть \log _2x=t, тогда: дробь: чис­ли­тель: \left| t в квад­ра­те минус 2t минус 6 | минус \left| t в квад­ра­те минус 6 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус t минус t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби боль­ше или равно 0.

Най­дем огра­ни­че­ния на t.

6 минус t минус t в квад­ра­те боль­ше 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс t минус 6 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 3 мень­ше t мень­ше 2.

В даль­ней­шем не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: \left| t в квад­ра­те минус 2t минус 6 | минус \left| t в квад­ра­те минус 6 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус t минус t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби боль­ше или равно 0 будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве M= левая круг­лая скоб­ка минус 3;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

На M:

дробь: чис­ли­тель: \left| t в квад­ра­те минус 2t минус 6 | минус \left| t в квад­ра­те минус 6 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус t минус t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но \left| t в квад­ра­те минус 2t минус 6 | минус \left| t в квад­ра­те минус 6 | боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2t минус 6 минус t в квад­ра­те плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2t минус 6 плюс t в квад­ра­те минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 2t левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те минус 2t минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус t минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но t левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Вве­дем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =t левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ее знаки на про­ме­жут­ках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2).

f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Далее будет че­ре­до­ва­ние зна­ков.

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2;0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак вы­ра­же­ния−+−

 

Таким об­ра­зом, минус 3 мень­ше t мень­ше или равно минус 2,0 мень­ше или равно t мень­ше 2.

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

минус 3 мень­ше \log _2x мень­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но \log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше \log _2x мень­ше или равно \log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

0 мень­ше или равно \log _2x мень­ше 2 рав­но­силь­но \log _21 мень­ше или равно \log _2x мень­ше \log _24 рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно x мень­ше 4.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025