а) Найдите все значения a, при каждом из которых корни уравнения 
образуют арифметическую прогрессию.
б) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
в) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
г) Числа 
являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите x, если известно, что один из членов этой прогрессии равен −0,8.
а) Воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. Если 
- корни уравнения 
то 
(1), 
(2), 
(3) Если 
образуют арифметическую прогрессию, то 
Значит, 
поэтому 
Из равенства (2) получаем, что 
то есть 
Поэтому корни уравнения равны 
Из равенства (3) получаем 
б) 4 корня уравнения имеют вид 
то есть расположены симметрично относительно нуля. Если они образуют арифметическую прогрессию, то их можно представить как 
Из теоремы Виета получаем, что 
и 
Из этих равенств следует, что 
и 
Отсюда, в свою очередь, следует, что 
Решая эти два уравнения, получаем, что 
или 
в) 4 корня уравнения имеют вид то есть расположены симметрично относительно нуля. Если они образуют арифметическую прогрессию, то их можно представить как Из теоремы Виета получаем, что 
и 
Из этих равенств следует, что 
и 
Отсюда, в свою очередь, следует, что 
Решая эти два уравнения, получаем, что 
или 
г) Докажем, что второй член прогрессии не может равняться -0,8. Действительно, тогда 
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, -0,8 равен первый или третий член прогрессии.
Пусть 
Тогда рассмотрим 2 варианта:
1. 
Тогда 
Тогда 
Получается арифметическая прогрессия. В этому случае 
2. 
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии не получается.
Пусть теперь 
Тогда рассмотрим 2 варианта:
1. 
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии не получается.
2. 
Тогда 
Тогда 
Здесь арифметической прогрессии снова не получается.
Ответ: а) 
б) 
в) 
г)