СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512450

а) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

б) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

в) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г) Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те x, если из­вест­но, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

Ре­ше­ние.

а) Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Виета для ку­би­че­ско­го урав­не­ния. Если - корни урав­не­ния , то (1), (2), (3) Если об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, то Зна­чит, , по­это­му Из ра­вен­ства (2) по­лу­ча­ем, что , то есть По­это­му корни урав­не­ния равны Из ра­вен­ства (3) по­лу­ча­ем

 

б) 4 корня урав­не­ния имеют вид , то есть рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но нуля. Если они об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, то их можно пред­ста­вить как Из тео­ре­мы Виета по­лу­ча­ем, что и Из этих ра­венств сле­ду­ет, что и От­сю­да, в свою оче­редь, сле­ду­ет, что Решая эти два урав­не­ния, по­лу­ча­ем, что или

 

в) 4 корня урав­не­ния имеют вид , то есть рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но нуля. Если они об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, то их можно пред­ста­вить как Из тео­ре­мы Виета по­лу­ча­ем, что и Из этих ра­венств сле­ду­ет, что и От­сю­да, в свою оче­редь, сле­ду­ет, что Решая эти два урав­не­ния, по­лу­ча­ем, что или

 

г) До­ка­жем, что вто­рой член про­грес­сии не может рав­нять­ся -0,8. Дей­стви­тель­но, тогда , что про­ти­во­ре­чит ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству. Зна­чит, -0,8 равен пер­вый или тре­тий член про­грес­сии.

 

Пусть Тогда рас­смот­рим 2 ва­ри­ан­та:

1. Тогда Тогда По­лу­ча­ет­ся ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. В этому слу­чае

2. Тогда Тогда Здесь ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не по­лу­ча­ет­ся.

 

Пусть те­перь Тогда рас­смот­рим 2 ва­ри­ан­та:

1. Тогда Тогда Здесь ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не по­лу­ча­ет­ся.

2. Тогда Тогда Здесь ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии снова не по­лу­ча­ет­ся.

 

Ответ: а) б) в) г)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства