Ре­ше­ние. А)   

Б)  Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: А) Б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­им по­сле­до­ва­тель­но:

1.  От­рез­ки: МС, РС.

2.  Про­дол­жим от­ре­зок СР до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD. CP ∩ AD = K.

3.  Пря­мую КМ. KM ∩ AA₁ = Q.

4.  От­ре­зок PQ. PQMC  — ис­ко­мое се­че­ние. Так как точки М, Р, С по по­стро­е­нию лежат в плос­ко­сти се­че­ния, то по­лу­чен­ное се­че­ние удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

V(AC₁) = 6 · 4 · 7 = 168;

Плос­кость МРС делит па­рал­ле­ле­пи­пед на два тела. На­зо­вем их услов­но: ниж­нее и верх­нее. Ниж­нее тело со­сто­ит из двух пи­ра­мид: че­ты­рех­уголь­ной PAQMD (ос­но­ва­ние AQMD, вы­со­та AP) и тре­уголь­ной MDPC (ос­но­ва­ние Δ DPC, вы­со­та MD ).

Вы­чис­лим объем каж­дой из на­зван­ных пи­ра­мид.

AQMD  — тра­пе­ция, у ко­то­рой ос­но­ва­ния AQ  =  1; MD  =  2, вы­со­та AP  =  3.

=

Те­перь най­дем ис­ко­мое от­но­ше­ние. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)   Для на­хож­де­ния рас­сто­я­ния от точки D до плос­ко­сти МРС вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом объ­е­мов. Выше мы уже рас­смат­ри­ва­ли пи­ра­ми­ду MDPC. Если за ее ос­но­ва­ние при­нять Δ MPC, то ее вы­со­та и будет рас­сто­я­ни­ем от точки D до плос­ко­сти MPC.

Най­дем пло­щадь Δ MPC.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми Пусть h_a  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, опу­щен­но­го на ос­но­ва­ние a = 5, c_a  — про­ек­ция с на ос­но­ва­ние а, c_a = x, b_a  — про­ек­ция b на ос­но­ва­ние а, тогда b_a = 5 − x, h²  =  a² − x², h² = b² − (5 − x)², 40 − x² = 29 − 25 + 10x − x²; 10x = 36;

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x.

Далее не­ра­вен­ство будем ре­шать ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции и будем его рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве

На M: x + 3 > 0, (x − 1)² > 0. Сле­до­ва­тель­но,

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AB  =  c. И пусть пло­щадь лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной ка­те­том b и дугой окруж­но­сти ω будет равна D₁, а пло­щадь лу­ноч­ки огра­ни­чен­ной ка­те­том a и дугой окруж­но­сти ω будет равна D₂. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC (обо­зна­чим S_Δ) будет вы­ра­же­на так:

Най­дем пло­щадь S₁ лу­ноч­ки, ко­то­рая огра­ни­че­на по­лу­окруж­но­стя­ми ω и ω₁.

Ана­ло­гич­но най­дем пло­щадь S₂ лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной по­лу­окруж­но­стя­ми ω и ω₂,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: зна­чит, (**)

Пра­вые части ра­венств (*) и (**) сов­па­да­ют, сле­до­ва­тель­но, обя­за­ны сов­пасть и левые части, т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Со­еди­ним от­рез­ком цен­тры окруж­но­стей ω₁ и ω₂, точки O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем ра­ди­у­сы O₁M, O₂P. Ясно, что O₁M ⊥ l, O₂P ⊥ l, O₁M || O₂P, O₁MPO₂  — тра­пе­ция,

Итак, MP²  =  49, MP  =  7.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

а)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AB  =  c. И пусть пло­щадь лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной ка­те­том b и по­лу­окруж­но­стью ω, равна D₁, ка­те­том a и по­лу­окруж­но­стью ω равна D₂. Тогда

Пра­вые части ра­венств (*) и (**) сов­па­да­ют, сле­до­ва­тель­но, обя­за­ны сов­пасть и левые части, т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Со­еди­ним от­рез­ком цен­тры окруж­но­стей ω₁ и ω₂, точки O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем ра­ди­у­сы O₁M, O₂P. Ясно, что O₁M ⊥ l, O₂P ⊥ l, зна­чит, O₁M || O₂P, O₁MPO₂  — тра­пе­ция. Про­ве­дем O₂K, K ∈ O₁M, O₂K || MP.

Итак, MP²  =  9, MP  =  7.

Ответ: б) 7.

Ре­ше­ние. Пусть для опре­де­лен­ноcти Миша и Маша 15.01.12 по­ло­жи­ли в банк x руб­лей. Под­го­то­вим вы­пис­ки из ли­це­вых сче­тов Маши и Миши.

Итак, Маша по­лу­чи­ла на 1100 руб. боль­ше, чем Миша.

Ответ: Маша, на 1100 руб­лей.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Рас­смот­рим функ­цию Функ­ция не­пре­рыв­ная, мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щая как сумма двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций. Мы имеем: сле­до­ва­тель­но, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие: От­сю­да:

Чтобы по­след­нее урав­не­ние имело два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние двух усло­вий:

Решим си­сте­му не­ра­венств

Итак, ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пер­вым наи­мень­шим на­ту­раль­ным де­ли­те­лем числа Р будет 1. Сумма двух дру­гих равна 7, т. к. это долж­ны

быть про­стые числа, то это 2 и 5.

Три наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р будут при этом Р не долж­но де­лить­ся на 3 и на 4,

т. к. они мень­ше 5 и быть крат­но

а).

б). -крат­но 3 не под­хо­дит.

в). Под­хо­дят 10 и 50

Ответ: а) 170; б) нет; в) 10 и 50.