Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Окруж­ность с диа­мет­ром AD пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну CD в точке M, а окруж­ность с диа­мет­ром CD пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке N. От­рез­ки AM и CN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что точка P лежит на диа­го­на­ли BD тра­пе­ции ABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до бо­ко­вой сто­ро­ны AB, если BC  =  17, AD  =  31.

a)  Точка M лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AD, по­это­му пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CD, то есть AM вы­со­та тре­уголь­ни­ка ACD. Ана­ло­гич­но CN  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ACD. Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции. По усло­вию за­да­чи пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC, зна­чит, DO  — тре­тья вы­со­та тре­уголь­ни­ка ACD. Вы­со­ты тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, сле­до­ва­тель­но, точка P пе­ре­се­че­ния высот AM и CN лежит на пря­мой OD, а зна­чит, на диа­го­на­ли BD.

б)  Точка N  — ос­но­ва­ние вы­со­ты тра­пе­ции, опу­щен­ной на ос­но­ва­ние AD, по­это­му

Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а её диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му

Зна­чит, CN  =  AN  =  24.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Рас­сто­я­ние от точки P до бо­ко­вой сто­ро­ны AB равно вы­со­те PH тре­уголь­ни­ка APB, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB, а по­сколь­ку AO также вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 21,08.