PDF-версии: 1. Тип 13 № 500212 
Источники:
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Запишем уравнение в виде
Значит, или 
— уравнение не имеет корней, или 
откуда 
или 
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим число 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 500212
а) б)
б) Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Поскольку 
получаем: 
с прямым углом 
имеем:
получаем:
или 
откуда находим решение первого неравенства системы 
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
получаем: 
Решение второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств:
— самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.
имеет более двух корней.
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
и 
имеют более двух общих точек на луче 
При a < 1 уравнение не имеет решений. При a = 1 уравнение имеет единственный корень x = 0. При 
уравнение имеет два решения. Пусть m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции 
и графика функции 
Тогда при 
уравнение имеет три решения, при 
уравнение имеет два решения, при 
уравнение имеет единственное решение. Найдем m из условия касания:
и 
Исследуем уравнение 
функция 
возрастает. Функция 
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
уравнение 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
а больший корень 
не превосходит 
если 
то есть при 
поэтому знаки корней 
и 
зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны. Следовательно, при 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
и 
и 
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 
Пусть 
Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных 
Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: 
Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы 
тогда 
то есть 
и 
Полученное противоречие доказывает, что 
Поэтому сумма слагаемых во второй группе 
не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.
Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S1 — сумма слагаемых в первой группе, S2 — сумма слагаемых во второй группе, причем 
и 
тогда 
поскольку 
Но тогда и любое слагаемое из второй группы больше 0,95. Учитывая, что 
получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое меньше 1, поэтому 
При 
и 
получим, что 
Это противоречит условию. Следовательно, S1 не может быть меньше 18,05: в этом случае S2 + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.