Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых ре­ше­ния урав­не­ния

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 8 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та = a

су­ще­ству­ют и при­над­ле­жат от­рез­ку [2; 17].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 8 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та = a рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 плюс 4 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 плюс 9 конец ар­гу­мен­та = a рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = a рав­но­силь­но | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2| плюс | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 3| = a

Рас­смот­рим функ­цию  y= | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2| плюс | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 3| на от­рез­ке [2; 17]. За­ме­тим, что сла­га­е­мое  | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2| об­ра­ща­ет­ся в нуль при  x = 5, а сла­га­е­мое  | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 3|  — при  x = 10. Тогда:

y = си­сте­ма вы­ра­же­ний | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2| плюс | ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 3|, при 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 5 , минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 3, при 5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 10, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 3, при 10 мень­ше или равно x мень­ше или равно 17 конец си­сте­мы . = си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 5, при 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 5 , 1, при 5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 10, 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та минус 5, при 10 мень­ше или равно x мень­ше или равно 17. конец си­сте­мы .

Пер­вое вы­ра­же­ние си­сте­мы задаёт убы­ва­ю­щую функ­цию, по­это­му  y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше y левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , при этом  y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 плюс 5 = 3. Тре­тье вы­ра­же­ние задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, по­это­му  y левая круг­лая скоб­ка 17 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше y левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка , при этом  y левая круг­лая скоб­ка 17 пра­вая круг­лая скоб­ка = 8 минус 5 = 3.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния су­ще­ству­ют и при­над­ле­жат от­рез­ку [2; 17] в том слу­чае, когда се­мей­ство го­ри­зон­таль­ных пря­мых  y = a имеет общие точки с гра­фи­ком. Так как на вы­бран­ном от­рез­ке гра­фик си­сте­мы в гра­нич­ных точ­ках при­ни­ма­ет одно и то же зна­че­ние  y = 3 и не при­ни­ма­ет зна­че­ния, мень­шие  y = 1, то по­дой­дут зна­че­ния па­ра­мет­ра  a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: [1; 3].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 503
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та