РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 79903019

Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 1.

В треугольнике ABC AB  =  BC. Внешний угол при вершине B равен 138°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $3\vec a,$ если $\vec a левая круглая скобка минус 8; 6 правая круглая скобка .$

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда  — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента$ и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

В праздничном наборе 100 шариков: 10 красных, 20 синих, остальные желтые и зеленые, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик синего или желтого цвета?

Садовник принес две корзинки фруктов. В одной из них 2 яблока и 6 персиков, а в другой  — 8 яблок и 12 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?

Найдите корень уравнения $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби .$

Найдите значение выражения $корень из 3 умножить на синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби умножить на косинус 2 Пи плюс корень из 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

На рисунке изображен график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−3; 11). Найдите количество решений уравнения $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0$ на отрезке [4; 9].

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ульт-развуковые импульсы частотой 187 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби ,$ где $c=1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_0$   — частота испускаемых импульсов, f  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмни-ком (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 4 м/с.

10.  

Заказ по изготовлению деталей ученик токаря может выполнить за 18 часов, а токарь  — за 12 часов. Ученик начал выполнять такой заказ. Через какое время после начала выполнения заказа учеником нужно начать работу токарю, чтобы в этом заказе деталей, изготовленных учеником, было в два раза больше деталей, изготовленных токарем? Ответ дайте в часах.

11.  

На рисунке изображены графики функций $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  

Найдите точку минимума функции $y = дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 25x плюс 14.$

13.  

а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

14.  

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B₁D, пересекает ребро BB₁ в точке K. Угол между плоскостями ABC и ACK равен 45°.

а)  Докажите, что угол KOB меньше 45°.

б)  Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство $5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2x плюс 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 5 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x плюс 3 конец дроби правая круглая скобка минус 5.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

18 апреля планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

  — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3,5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  — с 2-го по 17-е число каждого месяца необходимо внести платеж в счет погашения долга;

  — 18-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 18-е число предыдущего месяца;

  — к 18-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма платежей после полного его погашения составит 754 000 рублей?

Номер месяца	Долг на 1-е число месяца, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 18-е число месяца, тыс. руб.
			$S$
1	kS	$kS минус левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка$	$S минус x$
2	$k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка$	$k левая круглая скобка S минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка$	$S минус 2x$
3	$k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка$	$k левая круглая скобка S минус 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 3x правая круглая скобка$	$S минус 3x$
...	...	...	...
10	$k левая круглая скобка S минус 9x правая круглая скобка$	$k левая круглая скобка S минус 9x правая круглая скобка минус левая круглая скобка S минус 10x правая круглая скобка$	$S минус 10x$
11	$k левая круглая скобка S минус 10x правая круглая скобка$	$k левая круглая скобка S минус 10x правая круглая скобка$	$0$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

17.  

Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.

а)  Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.

б)  Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH  =  7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

18.  

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на 25 в степени x плюс левая круглая скобка 2a минус 14 правая круглая скобка умножить на 15 в степени x = левая круглая скобка 3a минус 15 правая круглая скобка умножить на 9 в степени x$ имеет единственный корень.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

19.  

На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых  — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 5 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на 5 больше, чем его ширина.

а)  Может ли лежать на столе прямоугольник шириной 15?

б)  Может ли лежать на столе прямоугольник длиной 36?

в)  Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	672733	69
2	672734	30
3	672735	4
4	672740	0,55
5	672742	0,55
6	672744	-1
7	672745	0,5
8	672746	3
9	672793	188
10	672795	8
11	672796	8
12	672797	5
13	672798	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$
14	672801	б)  $дробь: числитель: 2304, знаменатель: 5 конец дроби .$
15	672802	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; 0 правая квадратная скобка .$
16	672803	600 тысяч рублей.
17	672804	б)  49.
18	672805	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
19	672806	а)  нет, б)  да, в)  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 1.

Ключ