Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Отбор кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем по­сле­до­ва­тель­но:

1.  От­ре­зок AE.

2.  

3.  От­ре­зок BF.

  — ис­ко­мое се­че­ние. До­ка­жем это.

по усло­вию, по по­стро­е­нию, сле­до­ва­тель­но,   — по свой­ству тран­зи­тив­но­сти от­но­ше­ния па­рал­лель­но­сти.

Итак, две па­рал­лель­ные плос­ко­сти ABC и A₁B₁C₁ пе­ре­се­че­ны тре­тьей плос­ко­стью A₁B₁E, зна­чит, их линии пе­ре­се­че­ния обя­за­ны быть па­рал­лель­ны­ми, т. е. точка F лежит на пря­мой, па­рал­лель­ной AB. Таким об­ра­зом, A₁B₁FE  — ис­ко­мое се­че­ние.

За­ме­тим, что пря­мая A₁E не па­рал­лель­на пря­мой B₁F. А это зна­чит, что A₁B₁FE  — тра­пе­ция. До­ка­жем, что она рав­но­бед­рен­ная. По спо­со­бу по­стро­е­ния и по тео­ре­ме Фа­ле­са F  — сред­няя линия зна­чит, A  =  BF. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки A₁AE и B₁BF равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но, A₁  =  B₁F.

б)  Те­перь най­дем пло­щадь се­че­ния.

Пусть K и M  — ос­но­ва­ния высот тра­пе­ции, про­ве­ден­ных к A₁B₁ из вер­шин E и F со­от­вет­ствен­но.

Ясно, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем за­дан­ное не­ра­вен­ство так:

Далее:

Левая часть пер­во­го не­ра­вен­ства по­лу­чен­ной си­сте­мы при всех не мень­ше 1, а пра­вая же часть  — не боль­ше 1. Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство вы­пол­ни­мо при ра­вен­стве обеих ча­стей, т. е. лишь при

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. а)  Чтобы найти пло­щадь тра­пе­ции по­сту­пим так.

От­ло­жим на луче НС от точки С от­ре­зок, рав­ный АВ, конец от­рез­ка обо­зна­чим К, со­еди­ним от­рез­ком точки В и К. По­лу­чен­ный че­ты­рех­уголь­ник ВАСК  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма (AB || KС, AB = KС). Зна­чит, BK || AC (по опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма). По усло­вию за­да­чи из­вест­но, что Так как BK || AC, то т. е. Сле­до­ва­тель­но, около можно опи­сать окруж­ность с цен­тром в точке Н и ра­ди­у­сом R  =  BH  =  KH  =  DH. Итак,

Из по­след­не­го ра­вен­ства по­лу­ча­ем и то, что тре­бо­ва­лось до­ка­зать в под­пунк­те "а", т. е. BH  =  DH. Далее. KD  =  KC + CD  =  AB + CD. Но по свой­ству сред­ней линии тра­пе­ции. т. е. От­сю­да вывод: в рав­но­боч­ной тра­пе­ции, у ко­то­ро­го диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, вы­со­та равна сред­ней линии этой же тра­пе­ции.

б)  Так как пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию ее сред­ней линии и вы­со­ты, то пло­щадь тра­пе­ции будет равна квад­ра­ту ее сред­ней линии.

За­ме­ча­ние: то, что тре­бу­ет­ся до­ка­зать под­пунк­том "а", можно было вести и так:

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции. До­ка­жем, что BH = DH. По­сколь­ку за­дан­ная тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, в Зна­чит, как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных ВА, СD и се­ку­щей ВD. Сле­до­ва­тель­но, В таком слу­чае в где

От­сю­да:   — рав­но­бед­рен­ный, т. е. BH = DH, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Из­вест­но:

1.  Про­цен­ты на вклад на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но.

2.  Каж­дая по­сле­ду­ю­щая про­цент­ная над­бав­ка по ис­те­че­нии ка­лен­дар­но­го ме­ся­ца на­чис­ля­лась с уче­том вновь об­ра­зо­ван­ной суммы вкла­да и с уче­том преды­ду­щих над­ба­вок.

Если пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да при еже­ме­сяч­ной 5%-ной став­ке на­чис­ле­ния про­цен­тов про­дер­жа­лась k ме­ся­цев, то вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся в раз, и этот ко­эф­фи­ци­ент будет со­хра­нен до тех пор, пока став­ка не из­ме­нит­ся.

При из­ме­не­нии про­цент­ной над­бав­ки с на (став­ка про­дер­жа­лась m ме­ся­цев) пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за ме­ся­цев уве­ли­чит­ся в раза.

Пред­по­ло­жим, что про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась n ме­ся­цев, а про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась t ме­ся­цев. Тогда со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты по­вы­ше­ния со­ста­вят:

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы вкла­да в целом за весь пе­ри­од хра­не­ния вкла­да в банке со­ста­вит:

С дру­гой сто­ро­ны, со­глас­но усло­вию за­да­чи пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за это же время уве­ли­чи­лась на то есть в

Зна­чит,

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки каж­дое на­ту­раль­ное число, боль­шее 1, можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей, и это пред­став­ле­ние един­ствен­ное с точ­но­стью до по­ряд­ка их сле­до­ва­ния. В таком слу­чае:

Решим эту си­сте­му от­но­си­тель­но на­ту­раль­ных и Из по­след­не­го урав­не­ния си­сте­мы имеем: При этих зна­че­ни­ях k и m си­сте­ма при­мет вид:

Итак, вклад в банке на хра­не­нии был 7 ме­ся­цев. При най­ден­ных зна­че­ни­ях и t дей­стви­тель­но равно нулю.

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Более про­стой ва­ри­ант этой за­да­чи см. в но­ме­рах 620478, 620778, 635568 и 532959.

Ре­ше­ние. Ясно что при не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство.

Если по­де­лим на По­лу­чим при всех Оче­вид­но, для этого нужно, чтобы то есть

Если по­де­лим на По­лу­чим при всех Оче­вид­но, для этого нужно, чтобы то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  да, при­ве­дем при­мер: 6 пар­тий на­бра­ли со­от­вет­ствен­но: 6%, 6%, 11%, 16%, 26%, 35% го­ло­сов

б)  Пусть име­ет­ся k пар­тий, на­брав­ших про­цен­тов го­ло­сов, при этом По­нят­но, что пар­тии 1 и 2 не прой­дут в Думу, иначе для каж­дой из них не най­дет­ся двух дру­гих пар­тий с мень­шим чис­лом го­ло­сов. Зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, (по усло­вию), при том, что число го­ло­сов упо­ря­до­че­но по воз­рас­та­нию. Если тре­тья пар­тия не про­шла в Думу, то если про­шла, то

Ана­ло­гич­но

Итак, зна­чит, в вы­бо­рах не могло участ­во­вать ровно 5 пар­тий.

Ответ: нет.

в)   най­дем мак­си­маль­ное зна­че­ние

если то что не­воз­мож­но,

зна­чит → → При­ве­дем при­мер, когда зна­че­ние 7,5 до­сти­га­ет­ся:

Ответ: а) да; б) нет; в) 7,5.