Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  На про­ме­жут­ках ис­ко­мых ре­ше­ний не будет, мы будем ис­кать их на от­рез­ке с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пусть ребра пи­ра­ми­ды та­ко­вы, как по­ка­за­но на ри­сун­ке с точ­но­стью до обо­зна­че­ний вер­шин. (В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 2). Пусть О  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Пусть K  — се­ре­ди­на от­рез­ка AB. Про­ве­дем от­рез­ки SK и CK.

Ясно, что

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SKC. Он рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку SK = SC = 2. SO  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка. Оче­вид­но, что этот же от­ре­зок будет слу­жить вы­со­той за­дан­ной пи­ра­ми­ды, так как на­клон­ные SA = SB, BO = AO, по­сколь­ку KC  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку AB. Зна­чит, О  — ор­то­го­наль­ная про­ек­ция вер­ши­ны пи­ра­ми­ды на плос­кость (ABC).

Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть

Тогда:

По­сколь­ку мы имеем воз­мож­ность к ре­ше­нию по­след­не­го не­ра­вен­ства при­влечь метод ин­тер­ва­лов.

Ин­тер­ва­лы
Знак ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния	−	+	−	+

При т. е. при будем иметь:

При

Ответ:

Ре­ше­ние. На пер­вый взгляд, пред­став­ля­ет­ся прав­до­по­доб­ным сле­ду­ю­щее ре­ше­ние.

а)  Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем по­это­му в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

б)  При раз­би­е­нии четырёхуголь­ни­ка диа­го­на­ля­ми на 4 тре­уголь­ни­ка пло­ща­ди их та­ко­вы, что (*). Пусть p  — по­лу­пе­ри­метр каж­до­го из дан­ных тре­уголь­ни­ков, тогда из (*) по­лу­ча­ем: от­ку­да на­хо­дим ис­ко­мый ра­ди­ус: (Из­вест­ное свой­ство (*) не­труд­но до­ка­зать, поль­зу­ясь тем, что пло­щадь каж­до­го из тре­уголь­ни­ков равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус за­клю­чен­но­го между ними угла.)

Ответ: 4,5.

Но на самом деле всё не так.

Дей­стви­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOB и BOC имеют общую вы­со­ту, по­это­му

Ана­ло­гич­но, BO : DO = 2 : 3. Сле­до­ва­тель­но, AO < CO, BO < DO, и по­это­му AB < CD. Зна­чит, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AOB мень­ше пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка COD. Опи­сан­ная в усло­вии кон­фи­гу­ра­ция не су­ще­ству­ет. Можно про­ве­рить, что если пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков равны, то ис­ход­ный четырёхуголь­ник  — ромб. Тогда ра­ди­у­сы впи­сан­ных окруж­но­стей также равны друг другу.

Ре­ше­ние. Под­ход 1.

Пусть вклад­чик в пер­вый банк по­ло­жил х руб­лей, во вто­рой  — у руб­лей.

За 2 года хра­не­ния денег в пер­вом банке его вклад стал руб­лей, а во вто­ром банке  — руб­лей. В обоих бан­ках  — руб­лей. Со­ста­вим урав­не­ние:

Решим его от­но­си­тель­но х:

Най­дем нуж­ное про­цент­ное от­но­ше­ние:

Под­ход 2.

Из усло­вия за­да­чи из­вест­но, что общая сумма вкла­дов, по­ло­жен­ных в раз­ные банки, уве­ли­чи­лась в 2,5 раза. Но сумма, вло­жен­ная в пер­вый банк, уве­ли­чи­лась в раза. Раз­ность сви­де­тель­ству­ет о том, что в 0,06 раз уве­ли­чи­лась не сумма, по­ло­жен­ная в пер­вый банк, а стало быть,  — сумма, вло­жен­ная во вто­рой банк.

Ана­ло­гич­но, сумма, вло­жен­ная во вто­рой банк, уве­ли­чи­лась в раза Эта раз­ность есть ре­зуль­тат уве­ли­че­ния суммы, вло­жен­ной в пер­вый банк.

Таким об­ра­зом, суммы, вло­жен­ные в пер­вый и вто­рой банки на­хо­дят­ся в от­но­ше­нии со­от­вет­ствен­но.

Сле­до­ва­тель­но, в пер­вый банк вклад­чик по­ло­жил 90% име­ю­щих­ся денег.

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Най­дем зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых хотя бы для од­но­го зна­че­ния будет вы­пол­не­но ра­вен­ство

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда По­сколь­ку рас­смат­ри­ва­е­мый про­ме­жу­ток для t будет

По­сколь­ку ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся стро­го воз­рас­та­ю­щей, мно­же­ство зна­че­ний будет отоб­ра­жать­ся на мно­же­ство зна­че­ний, при­ни­ма­е­мых пе­ре­мен­ной t, а ис­сле­ду­е­мый про­ме­жу­ток   — на про­ме­жу­ток

Наша за­да­ча на дан­ном этапе будет такой: найти зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых хотя бы для од­но­го зна­че­ния будет вы­пол­не­но ра­вен­ство

За­ме­тим:

стар­ший ко­эф­фи­ци­ент квад­рат­но­го трех­чле­на равен 1, т. е. по­ло­жи­те­лен; огра­ни­че­ний на зна­че­ния а нет; при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра, зна­чит, имеет два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня при любом зна­че­нии а; сво­бод­ный член квад­рат­но­го трех­чле­на от­ри­ца­те­лен, что в свою оче­редь озна­ча­ет: корни квад­рат­но­го трех­чле­на имеют раз­ные знаки, оче­вид­но, что мень­ший ко­рень за­ве­до­мо от­ри­ца­те­лен, тогда как боль­ший ко­рень за­ве­до­мо по­ло­жи­те­лен.

Вы­чис­лим и

В со­от­вет­ствии с тем, что ска­за­но выше, долж­на вы­пол­нять­ся си­сте­ма:

Итак, при зна­че­ни­ях а, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству найдётся будет вы­пол­не­но ра­вен­ство

В таком слу­чае зна­че­ни­я­ми а, удо­вле­тво­ря­ю­щи­ми усло­вию ис­ход­ной за­да­чи, будут те зна­че­ния па­ра­мет­ра а, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют со­во­куп­но­сти не­ра­венств: или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Ясно, что в каж­дой стро­ке можно по­ста­вить не более одной ладьи. По­это­му ладей не более вось­ми. Можно, на­при­мер, по­ста­вить их в каж­дую клет­ку глав­ной диа­го­на­ли. Тогда их ровно 8 и ни­ка­кие две не бьют друг друга.

б)  Разо­бьем доску на 16 квад­ра­тов 2 на 2. Ясно, что каж­дый такой квад­рат может со­дер­жать не более од­но­го ко­ро­ля. Зна­чит, всего можно раз­ме­стить не более 16 ко­ро­лей. При­мер го­дит­ся, на­при­мер, такой: ста­вим по ко­ро­лю в левый ниж­ний угол каж­до­го из квад­ра­тов 2 на 2.

в)  Рас­ши­рим шах­мат­ную доску до раз­ме­ров 9Х9, до­ба­вив мыс­лен­но вер­ти­каль спра­ва и го­ри­зон­таль свер­ху. Разо­бьем по­лу­чен­ную доску на 9 квад­ра­тов 3Х3. По­ста­вим в центр каж­до­го из квад­ра­тов по ко­ро­лю. Тогда все клет­ки доски 9Х9, а зна­чит, и ис­ход­ной доски ока­за­лись под боем. Видно, что эти 9 ко­ро­лей по­па­ли и на ис­ход­ную доску, по­это­му 9 ко­ро­лей хва­тит.

До­ка­жем, что 8 ко­ро­лей не хва­тит. Рас­смот­рим пер­вые две го­ри­зон­та­ли. На них долж­но рас­по­ла­гать­ся не менее трех ко­ро­лей (иначе какие-то поля пер­вой го­ри­зон­та­ли не будут биты). Рас­смот­рим седь­мую и вось­мую го­ри­зон­та­ли. Ана­ло­гич­но на них долж­но сто­ять не менее трех ко­ро­лей. Те­перь рас­смот­рим 4 и 5 го­ри­зон­та­ли. На них долж­но сто­ять тоже не менее трех ко­ро­лей, иначе не будут биты, на­при­мер, все поля на 4й го­ри­зон­та­ли. Таким об­ра­зом, ко­ро­лей долж­но быть не менее 9.

г)  Ясно, что в каж­дой стро­ке можно по­ста­вить не более од­но­го ферзя. По­это­му фер­зей не более вось­ми.

При­ве­дем при­мер: по­ста­вим фер­зей в клет­ки

Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.