Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 508294
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых для лю­бо­го х из про­ме­жут­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 3;9 пра­вая круг­лая скоб­ка зна­че­ние вы­ра­же­ния ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 6 не равно зна­че­нию вы­ра­же­ния левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _3x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых хотя бы для од­но­го зна­че­ния x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3;9 пра­вая круг­лая скоб­ка будет вы­пол­не­но ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x минус 6= левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _3x.

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть t=\log _3x. Тогда t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 6=0. По­сколь­ку \log _33=1,\log _39=2, рас­смат­ри­ва­е­мый про­ме­жу­ток для t будет левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся стро­го воз­рас­та­ю­щей, мно­же­ство зна­че­ний \log _3x будет отоб­ра­жать­ся на мно­же­ство зна­че­ний, при­ни­ма­е­мых пе­ре­мен­ной t, а ис­сле­ду­е­мый про­ме­жу­ток левая квад­рат­ная скоб­ка 3;9 пра­вая круг­лая скоб­ка   — на про­ме­жу­ток левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Наша за­да­ча на дан­ном этапе будет такой: найти зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых хотя бы для од­но­го зна­че­ния t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка будет вы­пол­не­но ра­вен­ство t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 6=0.

За­ме­тим:

стар­ший ко­эф­фи­ци­ент квад­рат­но­го трех­чле­на f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 6 равен 1, т. е. по­ло­жи­те­лен; огра­ни­че­ний на зна­че­ния а нет; D= левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 24 боль­ше 0 при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра, зна­чит, f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка имеет два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня при любом зна­че­нии а; сво­бод­ный член квад­рат­но­го трех­чле­на от­ри­ца­те­лен, что в свою оче­редь озна­ча­ет: корни квад­рат­но­го трех­чле­на имеют раз­ные знаки, оче­вид­но, что мень­ший ко­рень за­ве­до­мо от­ри­ца­те­лен, тогда как боль­ший ко­рень за­ве­до­мо по­ло­жи­те­лен.

Вы­чис­лим f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус a плюс 4 минус 6= минус a минус 1;f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 2a плюс 8 минус 6= минус 2a плюс 6.

В со­от­вет­ствии с тем, что ска­за­но выше, долж­на вы­пол­нять­ся си­сте­ма:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 , новая стро­ка f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы ., т. е. си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус a минус 1 мень­ше или равно 0 , новая стро­ка минус 2a плюс 6 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a боль­ше или равно минус 1 , новая стро­ка a мень­ше 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно a мень­ше 3.

Итак, при зна­че­ни­ях а, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству минус 1 мень­ше или равно a мень­ше 3, найдётся t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка будет вы­пол­не­но ра­вен­ство t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 6=0.

В таком слу­чае зна­че­ни­я­ми а, удо­вле­тво­ря­ю­щи­ми усло­вию ис­ход­ной за­да­чи, будут те зна­че­ния па­ра­мет­ра а, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют со­во­куп­но­сти не­ра­венств: a мень­ше минус 1 или a боль­ше или равно 3.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025