Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Б)  Отбор кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ский метод ис­сле­до­ва­ния.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом объ­е­мов. Вы­чис­лим объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды C₁A₁MD, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой слу­жит а вы­со­той  — от­ре­зок C₁D₁.

С дру­гой же сто­ро­ны: где   — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A₁DC₁ най­дем A₁D, A1C₁ и DC₁.

Вы­со­ту h этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ную к сто­ро­не A₁C₁, по­лу­чим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ный метод ис­сле­до­ва­ния.

По­ме­стим за­дан­ную приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке D (0; 0; 0). Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек: Будем ис­кать урав­не­ние плос­ко­сти A₁DC₁ в виде ax + by + cz + d = 0. По­сколь­ку плос­кость про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, за­ве­до­мо d = 0. Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точек A₁ и C₁ в урав­не­ние плос­ко­сти.

Ис­ко­мое урав­не­ние будет иметь вид: или

Ре­ше­ние. В ло­га­риф­мах пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 2.

Пусть тогда

Решим это не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ин­тер­ва­лы
Знак ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния	+	−	+	−	+

Итак,

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки APC и CKA: углы PAC и KCA равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, углы APC и CKA равны (пря­мые углы), сто­ро­на AC  — общая. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки APC и CKA равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу. Точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной AC. От­рез­ки MP и MK равны, как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты (ме­ди­а­ны про­ве­ден­ные к ги­по­те­ну­зам) рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, тре­уголь­ник KMP  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков APC и CKA сле­ду­ет ра­вен­ство от­рез­ков AP и CK, а зна­чит и ра­вен­ство от­рез­ков PB и KB. Тогда тре­уголь­ни­ки PBK и ABC по­доб­ны. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMP:

Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: б) 50.

Ре­ше­ние. При удо­ро­жа­нии ком­му­наль­ных услуг на 100%, общая сумма уве­ли­чи­лась бы на 70%. А если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 100%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 20%. Зна­чит, в общем пла­те­же на ком­му­наль­ные услу­ги при­хо­дит­ся 70%, а на элек­три­че­ство  — 20%. По­это­му на те­ле­фон при­хо­дят­ся остав­ши­е­ся 10%.

При­ведём дру­гие ре­ше­ния.

1.  Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход.

Пусть плата за ком­му­наль­ные услу­ги и элек­три­че­ство со­став­ля­ет х руб. в месяц, а за те­ле­фон  — у руб. Если плата и за ком­му­наль­ные услу­ги, и за элек­три­че­ство уве­ли­чит­ся на 50%, эта часть опла­ты со­ста­вит 1,5x руб., что по­вле­чет уве­ли­че­ние общей суммы пла­те­жа на 35% + 10%  =  45%. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Это озна­ча­ет, что на те­ле­фон при­хо­дит­ся часть от общей суммы пла­те­жа, а это со­став­ля­ет 10%.

2.  Ариф­ме­ти­ка по­мо­га­ет ал­геб­ре.

Если все три вида предо­став­ля­е­мых услуг по­до­ро­жа­ют на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чит­ся на 50%. Но из-за того, что пла­теж за услу­ги те­ле­фо­нии оста­нет­ся не­из­мен­ным, общая сумма пла­те­жа после по­до­ро­жа­ния по осталь­ным двум видам услуг будет на 50% − 35% −10%  =  5% мень­ше. Эти 5%  — доля те­ле­фо­нии в числе 50% опла­ты за все услу­ги. Тем самым, доля опла­ты за те­ле­фон со­став­ля­ет 5/⁠50 или 10% от общей суммы.

3.  Си­сте­ма ли­ней­ных урав­не­ний.

Обо­зна­чим за x долю общей опла­ты, при­хо­дя­щей­ся на ком­му­наль­ные услу­ги, за y  — на элек­три­че­ство и за z  — на те­ле­фон. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний. Сумма всех оплат   — пер­вое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза ком­му­наль­ные услу­ги:   — вто­рое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза опла­ту за элек­три­че­ство:   — тре­тье урав­не­ние. Затем вы­чи­та­ем из тре­тье­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Затем вы­чи­та­ем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние: от­сю­да или 10%.

Ответ: 10%.

Ре­ше­ние. 1.  Пусть тогда Будем иметь:

Если то что не­воз­мож­но, ре­ше­ний нет. Если же то

По­сколь­ку нас ин­те­ре­су­ют зна­че­ния х, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ству решим не­ра­вен­ство

2.  Пусть тогда Далее: Если то что также не­воз­мож­но, ре­ше­ний нет. Если то Решим не­ра­вен­ство

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние при кор­ней не имеет, при будет иметь ровно один ко­рень, рав­ный при   — более од­но­го корня.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Не­воз­мож­но. Дей­стви­тель­но, если числа стоят по кругу, то у каж­до­го есть два со­сед­них. Рас­смот­рим число 16, тогда одним из его со­се­дей может быть число 9 (16+9=25), но вто­рое со­сед­нее число по­до­брать не­воз­мож­но, по­то­му что не­об­хо­ди­мо по­лу­чить в сумме хотя бы число 36, а мак­си­маль­ное число, ко­то­рое можно по­лу­чить это 31.

б)  Можно. При­ве­дем при­мер: 16,9,7,2,14,11,5,4,12,13,3,6,10,15,1,8.

в)  Можно. При­ве­дем при­мер: 9,1,10,2,11,3,12,4,13,5,14,6,15,7,16,8

Ответ: а) нет; б) да; в) да.