Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 508198
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _4x2x минус \log _2x в квад­ра­те 4x в квад­ра­те боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В ло­га­риф­мах пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 2.

\log _4x2x минус \log _2x в квад­ра­те 4x в квад­ра­те боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \log _22x, зна­ме­на­тель: \log _24x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: \log _24x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \log _22x в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: \log _2x плюс 1, зна­ме­на­тель: \log _2x плюс 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2\log _2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 2\log _2x плюс 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0.

 

Пусть \log _2x=t, тогда

дробь: чис­ли­тель: t плюс 1, зна­ме­на­тель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2t плюс 2, зна­ме­на­тель: 2t плюс 1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4t в квад­ра­те плюс 2t плюс 4t плюс 2 минус 4t в квад­ра­те минус 8t минус 4t минус 8 плюс 6t в квад­ра­те плюс 15t плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6t в квад­ра­те плюс 9t, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Решим это не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния+−+−+

 

Итак, t мень­ше минус 2, минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно t мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;t боль­ше или равно 0.

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x. \log _2x мень­ше минус 2 рав­но­силь­но \log _2x мень­ше \log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно \log _2x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _2x мень­ше \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

\log _2x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 1.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025