PDF-версии: 1. Тип 13 № 649745 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители
Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Пусть 
тогда:
Заметим, что
поэтому уравнение 
не имеет решений. Осталось решить уравнение 
б) Отберем корни при помощи единичной окружности. Подходят: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 649745
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители
Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости α больше радиуса, и шар с плоскостью не пересекается.
где V — объем пирамиды, Sп.п. — площадь полной поверхности пирамиды. Площадь основания пирамиды равна 
высота пирамиды равна
где p — полупериметр основания, 
—
следовательно, поскольку плоскость α проходит через середину высоты пирамиды, расстояние между плоскостью основания пирамиды и плоскостью α равно 
поэтому плоскость α и шар не имеют общих точек.
Левая часть обращается в нуль, если
Покажем, что других корней нет: действительно, в левой части уравнения стоит убывающая на ОДЗ функция, в правой — возрастающая, значит, уравнение имеет не более одного корня.
получаем:
— неверно.
получаем:
— верно.
получаем:
— неверно.
где S0 — сумма на инвестиционном счёте на начало года в рублях. На банковском счёте сумма увеличивается за год на 8%. В начале любого года Иван может переложить всю сумму с одного счёта на другой. Какая наибольшая сумма может быть у Ивана через четыре года? Ответ дайте в рублях.
и 
Тогда 
и 
Отрезок GF — диаметр окружности, а следовательно, высота трапеции. Тогда, записав две теоремы Пифагора, получим, что
Следовательно,
то есть 
и тогда 
и 
Отсюда имеем: 
лежат в отрезке [−1; 1], применим правила «меньше меньшего», «больше большего»:
имеет решения при 
неравенство 
имеет решения при 
Поэтому совокупность не имеет решений при 
является парабола с вершиной в точке 
и ветвями вверх (выделена оранжевым). Графиком 
является синусоида с наименьшим положительным периодом 2, наибольшим значением 1 и наименьшим значением −1 (выделена красным пунктиром). Эти два графика разбивают плоскость на три части, в каждой из которых знак левой части неравенства постоянен. Выясним этот знак, подставив пробные точки.
:
:
:
поэтому разность прогрессии не может быть больше 
Значит, максимальная разность равна 44. Это значение достигается для прогрессии 11, 55, 99.
или 
откуда 
Следовательно, последние цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Из второго условия тогда получаем, что и 
то есть первые цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Ясно, что условий 
и 
будет и достаточно для выполнения условий 
Всего есть 5 нечетных цифр и 4 четных. Выбрать две нечетных можно 
способами, а две четных 
способами
способ
вариант.