Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет. Итак, общим ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние:

Пусть ис­ко­мая вы­со­та пи­ра­ми­ды, т. е. длина ребра SA, равна Тогда объем пи­ра­ми­ды Это с одной сто­ро­ны.

С дру­гой же сто­ро­ны, объем пи­ра­ми­ды свя­зан с ра­ди­у­сом шара, впи­сан­но­го в него, фор­му­лой: где S  — пол­ная по­верх­ность пи­ра­ми­ды, r  — ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду. В нашем слу­чае по­сколь­ку

Най­дем

как два рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка (по двум ка­те­там: SA  — общий катет, как сто­ро­ны од­но­го и того же квад­ра­та).

До­ка­жем, что пря­мо­уголь­ный.

SB  — на­клон­ная к плос­ко­сти ABC, AB  — про­ек­ция на­клон­ной По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах не­пре­мен­но

По ана­ло­гич­ной при­чи­не также ока­жет­ся пря­мо­уголь­ным. (по общей ги­по­те­ну­зе и рав­ным ка­те­там BC и DC). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра будем иметь:

Итак,

По­сколь­ку то:

(не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи),

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Про­из­ве­дем за­ме­ну пе­ре­мен­ной. Пусть тогда:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

При имеем: Для таких x вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы рав­но­силь­но не­ра­вен­ству По­лу­ча­ем:

До­ка­жем, что

Дей­стви­тель­но,

Итак, ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство От­сю­да ясно, что ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы сле­ду­ет ис­кать толь­ко на мно­же­стве по­ло­жи­тель­ных чисел, т. е. оно будет под­мно­же­ством мно­же­ства За­ме­тим, что До­ка­жем, что

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем за­дан­ной си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, что в в про­тив­ном слу­чае а это про­ти­во­ре­чит усло­вию.

По­ме­стим за­дан­ную окруж­ность ра­ди­у­са R = 3 в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке А(0; 0). И пусть осталь­ные вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка АВС имеют ко­ор­ди­на­ты: В(3; 8), С(3; 0). И пусть P  — точка окруж­но­сти (рис. 1),

В по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда:

Так как то

Под­ста­вим в по­след­нее ра­вен­ство зна­че­ния

Слу­чай 1 (рис. 2). Точка Р сов­па­дет с точ­ка­ми пре­се­че­ния окруж­но­сти с осью ор­ди­нат.

Оче­вид­но, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние будет равно ра­ди­у­су окруж­но­сти, т. е. 3.

Слу­чай 2. Най­дем абс­цис­сы точки Р.

Так как абс­цис­са точки Р будет равна то ис­ко­мое рас­сто­я­ние либо равно (не под­хо­дит), либо (удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи).

Ответ: 3 или

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное урав­не­ние.

По­сколь­ку будем иметь:

Разо­бьем это не­ра­вен­ство на две си­сте­мы не­ра­венств:

За­ме­тим, что для каж­до­го так как

Каж­дую из этих си­стем будем рас­смат­ри­вать от­дель­но.

Рас­смот­рим си­сте­му (1).

Решим пер­вое её не­ра­вен­ство.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство.

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы не­ра­венств (1) яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Те­перь рас­смот­рим си­сте­му (2).

Решим пер­вое не­ра­вен­ство этой си­сте­мы.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство той же си­сте­мы.

Итак, ре­ше­ни­ем си­сте­мы (2) будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние за­да­чи про­ве­дем с по­мо­щью ис­сле­до­ва­ния рас­по­ло­же­ния кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на.

Имеем: Вве­дем новую пе­ре­мен­ную: пусть

Тогда Как было по­ка­за­но выше, дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на от­но­си­тель­но t при всех по­ло­жи­те­лен. Ветви па­ра­бо­лы, т. е., гра­фи­ка функ­ции на­прав­ле­ны вверх.

Най­дем зна­че­ния a, при ко­то­рых Их удоб­но ис­кать, решив 3 си­сте­мы не­ра­венств. Если   — абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы, то:

1)  

Си­сте­ма не­сов­мест­на.

2)  

Си­сте­ма не­сов­мест­на.

3)  ##

Таким об­ра­зом, толь­ко при По­сколь­ку при осталь­ных зна­че­ни­ях квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но t будет иметь хотя бы один дей­стви­тель­ный ко­рень, удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию то ис­ко­мым мно­же­ством зна­че­ний а будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Число 81 во вто­ром ряду впер­вые по­явит­ся под чис­лом 999999999 (рань­ше оно встре­тить­ся не может, так как нужно ми­ни­мум 9 сим­во­лов). Зна­чит, его номер равен

Ответ: 111111111.

б)  Число 36 впер­вые встре­тит­ся под чис­лом 9999. Число 27 че­ты­ре раза под­ряд встре­тит­ся рань­ше: на­при­мер, под чис­ла­ми 3969, 3978, 3987, 3996.

Ответ: а) 111111111; б) число 27.