Ре­ше­ние. а)  

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, точки A и B стя­ги­ва­ют дугу 60°, по­это­му от­ре­зок AB равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим ра­ди­ус за r, а длину об­ра­зу­ю­щей за l. Тогда Про­ве­дем вы­со­ту SC тре­уголь­ни­ка SAB. Тогда и по­это­му и

Из усло­вия на пло­щадь имеем от­ку­да

Тогда вы­со­та ко­ну­са равна и объем ко­ну­са равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Итак, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Те­перь решим пер­вое не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим ис­ко­мый ра­ди­ус за

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры из цен­тров ма­лень­кой () и боль­шой () окруж­но­стей на Ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из на­зо­вем

Слу­чай 1. и лежат по одну сто­ро­ну от Тогда   — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой и (опус­кая вы­со­ту из на ) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем от­ку­да

Слу­чай 2. и лежат по раз­ные сто­ро­ны от Тогда   — тра­пе­ция, в ко­то­рой и (опус­кая вы­со­ту из на ) по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние. Ясно, что все­гда яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния, а дру­гие целые числа его кор­ня­ми не яв­ля­ют­ся. По­это­му можно по­де­лить урав­не­ние на У по­лу­чен­но­го урав­не­ния долж­но не быть кор­ней. Обо­зна­чим За­ме­тим, что на про­ме­жут­ке эта функ­ция не­пре­рыв­на, при­чем при и при По­это­му t при­ни­ма­ет все ве­ще­ствен­ные зна­че­ния.

Зна­чит, урав­не­ние не долж­но иметь кор­ней. То есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Разо­бьем всех школь­ни­ков на клас­сы. Пусть в каж­дом клас­се не более 14 че­ло­век. Пусть k – число клас­сов, со­сто­я­щих хотя бы из двух школь­ни­ков (такие клас­сы на­зо­вем боль­ши­ми). Тогда из усло­вия ясно, что k\leqslant 4 (иначе, взяв по два школь­ни­ка из пяти боль­ших клас­сов, мы по­лу­чим 10 че­ло­век, среди ко­то­рых нет трех од­но­класс­ни­ков).

Пусть k  =  4. Тогда общее число школь­ни­ков в боль­ших клас­сах не пре­вос­хо­дит 56. Зна­чит, най­дут­ся 4 школь­ни­ка, каж­дый из ко­то­рых не имеет од­но­класс­ни­ков. Возь­мем их и еще по два школь­ни­ка из трех боль­ших клас­сов. У нас по­лу­чи­лось 10 школь­ни­ков, среди ко­то­рых нет трех од­но­класс­ни­ков.

Пусть те­перь k мень­ше че­ты­рех. Тогда (ана­ло­гич­но) най­дут­ся как ми­ни­мум 18 школь­ни­ков, каж­дый из ко­то­рых не имеет од­но­класс­ни­ков. Это, ко­неч­но, про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Таким об­ра­зом, хотя бы в одном клас­се не менее 15 школь­ни­ков.

б)  Не­обя­за­тель­но. Рас­смот­рим 4 клас­са по 15 школь­ни­ков. Тогда среди любых де­ся­ти най­дут­ся три од­но­класс­ни­ка, но 16 од­но­класс­ни­ков не най­дет­ся.

Ответ: а) Обя­за­тель­но; б) Нет.