PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Найдем ограничения на
Для таких x имеем:
Преобразуем числитель дроби и приравняем его к нулю:
После приведения подобных слагаемых получим:
Разделим обе части последнего уравнения на 2:
Однако, серия корней 
не является решением заданного уравнения, так как при этих значениях x, как сказано выше, знаменатель левой части уравнения обращается в нуль.
б) При 
получим: 
очевидно, что 
При 
Докажем, что 
т. е. 
Действительно, 
Заметим, что при 
так как 
При 
Докажем, что 
(неравенство верно).
При 
Убедимся, что 
Очевидно, что 
значит, 
Ответ:а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)
точки M и K — середины ребер SF и SC соответственно. Найти длину стороны основания, если угол между плоскостями AEK и BDM равен 
и 
— середины AE и BD соответственно. Пусть O — точка пересечения 
и 
Проведем через O прямую, параллельную AE, это будет прямая пересечения двух плоскостей. Очевидно, 
и 
перпендикулярны этой прямой (поскольку их проекции лежат на 
Поэтому описанный в задаче угол равен углу между KO и MO. Рассмотрим 
(это прямоугольник). Возможны два случая.
Пусть 
тогда по теореме косинусов 
то есть 
Поскольку 
то 
и сторона основания (равная половине FC) имеет длину 4.
Пусть 
то есть 
Поскольку 
то 
и сторона основания (равная половине FC) имеет длину 
Получим: 
Ясно, что при этом также должны выполняться условия: 
Для таких x:
Пусть 
Тогда 
или 
Перейдя к переменной x, будем иметь: 
или 
Решим данные неравенства:
— центры вписанной и описанной окружностей, их радиусы и r и R соответственно.
т. е. 
при каждом из которых наименьшее значение функции 
на отрезке 
принимает наименьшее значение.
то производная имеет вид 
корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок 
то 
а 
не лежит на отрезке 
В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:
)
(**)
то производная имеет вид 
Отрезок 
на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).
то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений 
и 
Имеем:
то 
а 
не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если 
то функция убывает на 
и на 
Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно
функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка 
верно равенство 
достаточно найти наименьшее значение функции 
на промежутке 
являются числа 
и 
На интервале 
значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень 
производная 
отрицательна, на интервале 
положительна. Следовательно, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение 
на отрезке 
достигается в точке 
Такое же наименьшее значение 
принадлежащей отрезку 
и 