Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505987

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25, а вписанной в него окружности — 12. Найдите стороны треугольника.

Решение.

Пусть задан треугольник АВС, у которого стороны АВ и ВС равны, D — середина АС. Ясно, что центры вписанной и описанной окружностей лежат на BD. И пусть {{O}_{1}},{{O}_{2}} — центры вписанной и описанной окружностей, их радиусы и r и R соответственно.

Расстояние d между центрами этих окружностей найдем по формуле Эйлера.

d= корень из { {{R} в степени 2 } минус 2Rr}= корень из { 625 минус 2 умножить на 25 умножить на 12}= корень из { 625 минус 600}=5.

Пусть AB = BC = x, A = y. Тогда

S(ABC)= дробь, числитель — 2x плюс y, знаменатель — 2 умножить на r= дробь, числитель — {{x} в степени 2 }y, знаменатель — 4R , т. е. (2x плюс y) умножить на 12= дробь, числитель — {{x} в степени 2 }y, знаменатель — 2 умножить на 25 ;

600 умножить на (2x плюс y)={{x} в степени 2 };{{x} в степени 2 }y минус 1200x минус 600y=0.

Случай 1.

{{O}_{1}}D=r=12,B{{O}_{2}}=A{{O}_{2}}=R=25,

B{{O}_{2}} плюс 5=B{{O}_{1}}.

Тогда {{O}_{2}}D={{O}_{1}}D минус {{O}_{1}}{{O}_{2}}=12 минус 5=7.

AD= корень из { A{{O}_{2}} в степени 2 минус {{O}_{2}}{{D} в степени 2 }}= корень из { 625 минус 49}=24.AC=2AD=48.

Итак, y=48.

{{x} в степени 2 }y минус 1200x минус 600y=0;48{{x} в степени 2 } минус 1200x минус 600 умножить на 48=0;48{{x} в степени 2 } минус 1200x минус 600 умножить на 48=0;{{x}_{1}}=40,{{x}_{2}}= минус 15

(не подходит по смыслу задачи).

 

Случай 2.

{{O}_{1}}D=r=12,B{{O}_{2}}=A{{O}_{2}}=R=25,B{{O}_{2}} плюс 5=B{{O}_{1}}.

Тогда {{O}_{2}}D={{O}_{1}}D плюс {{O}_{1}}{{O}_{2}}=12 плюс 5=17.

AD= корень из { A{{O}_{2}} в степени 2 минус {{O}_{2}}{{D} в степени 2 }}= корень из { 625 минус 289}= корень из { 336}= корень из { 16 умножить на 21}=4 корень из { 21}.

AC=2AD=8 корень из { 21},y=8 корень из { 21}.{{x} в степени 2 }y минус 1200x минус 600y=0

8 корень из { 21} умножить на {{x} в степени 2 } минус 1200x минус 600 умножить на 8 корень из { 21}=0;

 корень из { 21}{{x} в степени 2 } минус 150x минус 600 корень из { 21}=0;

x= дробь, числитель — 75\pm корень из { 5625 плюс 12600}, знаменатель — корень из { 21 }= дробь, числитель — 75\pm корень из { 5625 плюс 12600}, знаменатель — корень из { 21 }= дробь, числитель — 75\pm корень из { 18225}, знаменатель — корень из { 21 }= дробь, числитель — 75\pm 135, знаменатель — корень из { 21 }; {{x}_{1}}= дробь, числитель — 210, знаменатель — корень из { 21 }=10 корень из { 21}.

{{x}_{2}}= дробь, числитель — 75 минус 135, знаменатель — корень из { 21 }

(не подходит по смыслу задачи).

 

Примечание:

Конечно же, способ вычисления длин боковых сторон заданного треугольника намного проще, если использовать теорему Пифагора. Сделаем и так.

Случай 1.

BD={{O}_{2}}D плюс {{O}_{2}}B=7 плюс 25=32;AB= корень из { A{{D} в степени 2 } плюс B{{D} в степени 2 }}= корень из { 576 плюс 1024}= корень из { 1600}= 40.

Случай 2.

BD={{O}_{1}}D плюс 5 плюс {{O}_{2}}B=12 плюс плюс 5 плюс 25=42;AB= корень из { A{{D} в степени 2 } плюс B{{D} в степени 2 }}= корень из { 336 плюс 1764}= корень из { 2100}=10 корень из { 21}.

 

Ответ: 48; 40; 40 или 8 корень из { 21};10 корень из { 21};10 корень из { 21}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 24.
Методы геометрии: Теорема Эйлера
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, описанная вокруг треугольника