Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ра­ди­ус опи­сан­ной около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти равен 25, а впи­сан­ной в него окруж­но­сти  — 12. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть задан тре­уголь­ник АВС, у ко­то­ро­го сто­ро­ны АВ и ВС равны, D  — се­ре­ди­на АС. Ясно, что цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей лежат на BD. И пусть O_1,O_2  — цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, их ра­ди­у­сы и r и R со­от­вет­ствен­но.

Рас­сто­я­ние d между цен­тра­ми этих окруж­но­стей най­дем по фор­му­ле Эй­ле­ра.

d= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: R конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2Rr= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 625 минус 2 умно­жить на 25 умно­жить на 12 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 625 минус 600 конец ар­гу­мен­та =5.

Пусть AB = BC = x, A = y. Тогда

S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на r= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те y, зна­ме­на­тель: 4R конец дроби , т. е. левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 12= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те y, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 25 конец дроби ;

600 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те ;x в квад­ра­те y минус 1200x минус 600y=0.

Слу­чай 1.

O_1D=r=12,BO_2=AO_2=R=25,

BO_2 плюс 5=BO_1.

Тогда O_2D=O_1D минус O_1O_2=12 минус 5=7.

AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO конец ар­гу­мен­та _2 в квад­ра­те минус O_2D в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 625 минус 49 конец ар­гу­мен­та =24.AC=2AD=48.

Итак, y=48.

x в квад­ра­те y минус 1200x минус 600y=0;48x в квад­ра­те минус 1200x минус 600 умно­жить на 48=
=0;48x в квад­ра­те минус 1200x минус 600 умно­жить на 48=0;x_1=40,x_2= минус 15

(не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи).

 

Слу­чай 2.

O_1D=r=12,BO_2=AO_2=R=25,BO_2 плюс 5=BO_1.

Тогда O_2D=O_1D плюс O_1O_2=12 плюс 5=17.

AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO конец ар­гу­мен­та _2 в квад­ра­те минус O_2D в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 625 минус 289 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 336 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 умно­жить на 21 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

AC=2AD=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та ,y=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .x в квад­ра­те y минус 1200x минус 600y=0

8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на x в квад­ра­те минус 1200x минус 600 умно­жить на 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та =0;

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та x в квад­ра­те минус 150x минус 600 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та =0;

x= дробь: чис­ли­тель: 75\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5625 плюс 12600 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5625 плюс 12600 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18225 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 75\pm 135, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; x_1= дробь: чис­ли­тель: 210, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби =10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

x_2= дробь: чис­ли­тель: 75 минус 135, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби

(не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи).

 

При­ме­ча­ние:

Ко­неч­но же, спо­соб вы­чис­ле­ния длин бо­ко­вых сто­рон за­дан­но­го тре­уголь­ни­ка на­мно­го проще, если ис­поль­зо­вать тео­ре­му Пи­фа­го­ра. Сде­ла­ем и так.

Слу­чай 1.

BD=O_2D плюс O_2B=7 плюс 25=32;AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 576 плюс 1024 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1600 конец ар­гу­мен­та = 40.

Слу­чай 2.

BD=O_1D плюс 5 плюс O_2B=12 плюс плюс 5 плюс 25=42;AB=
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 336 плюс 1764 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2100 конец ар­гу­мен­та =10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 48; 40; 40 или 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та ;10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та ;10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 24
Методы геометрии: Тео­ре­ма Эй­ле­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025