Ре­ше­ние. а)  Умно­жим обе части урав­не­ния на −2 и за­ме­ним вы­ра­же­ния и вы­ра­же­ни­я­ми, тож­де­ствен­но рав­ны­ми и со­от­вет­ствен­но. Пра­вую часть урав­не­ния пе­ре­не­сем в левую часть с из­ме­не­ни­ем знака каж­до­го сла­га­е­мо­го на про­ти­во­по­лож­ный: Пре­об­ра­зу­ем левую часть по­след­не­го урав­не­ния, вы­де­ляя при этом пол­ный квад­рат раз­но­сти

Далее будем иметь:

До­ка­жем, что ни при каких зна­че­ни­ях x вы­ра­же­ние в нуль не об­ра­ща­ет­ся. Для этого до­ста­точ­но оце­нить вы­ра­же­ние свер­ху и снизу. Из­вест­но, что Эти не­ра­вен­ства оди­на­ко­во­го смыс­ла, сле­до­ва­тель­но, их можно сло­жить: А те­перь к каж­дой части по­след­не­го не­ра­вен­ства при­ба­вим 4. По­лу­чим: Таким об­ра­зом, мы убе­ди­лись, что при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной Сле­до­ва­тель­но, за­дан­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию Решим его:

б)  За­ме­тим, что так как (не­ра­вен­ство оче­вид­ное). Также легко убеж­да­ем­ся в спра­вед­ли­во­сти не­ра­вен­ства по­сколь­ку В про­ме­жут­ке лежит един­ствен­ный ко­рень урав­не­ния рав­ный нулю. От­рез­ку при­над­ле­жат два корня урав­не­ния и

Од­на­ко так как Ко­рень будет ис­ко­мым, по­сколь­ку

То, что оче­вид­но. До­ка­жем, что Дей­стви­тель­но,

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что се­че­ние может быть па­рал­лель­но толь­ко диа­го­на­ли BD. (она не имеет общих точек с AM). Чтобы по­стро­ить его про­ве­дем от­ре­зок MN па­рал­лель­но пря­мой BD так, что Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния пря­мых MN и HS за O. (H  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды). Про­ве­дем те­перь пря­мую AO, она лежит в плос­ко­сти ASC и по­это­му пе­ре­се­чет ребро SC в не­ко­то­рой точке K. Че­ты­рех­уголь­ник AMKN  — ис­ход­ное се­че­ние (дей­стви­тель­но, он со­дер­жит пря­мую MN па­рал­лель­ную пря­мой BD).

Рас­смот­рим тре­уголь­ник CSH и пря­мую OK и при­ме­ним для них тео­ре­му Ме­не­лая:

Зна­чит,

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник ASC. Он рав­но­бед­рен­ный, ос­но­ва­ние равно вы­со­та Зна­чит,

Зна­чит, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов най­дем

Те­перь:

зна­чит, По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая AK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BD, зна­чит, и AK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN. Кроме того, По­это­му:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Не­ра­вен­ство имеет смысл при всех зна­че­ни­ях x, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно при всех

Ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Най­дем пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы. Ис­ко­мым мно­же­ством яв­ля­ет­ся

Ответ:

Ре­ше­ние. В дан­ной за­да­че име­ет­ся не­од­но­знач­ность в вы­бо­ре ва­ри­ан­та бук­вен­но­го обо­зна­че­ния вер­шин тра­пе­ции, а также в вы­бо­ре боль­ше­го ос­но­ва­ния.

В этой связи воз­мож­ны сле­ду­ю­щие слу­чаи:

Слу­чай 1 (рис. 1).

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции ВС и АD. ~

Сле­до­ва­тель­но, Зна­чит,

Те­перь рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABE и CBE. Они имеют общую вы­со­ту, про­ве­ден­ную к сто­ро­нам АЕ и СЕ со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как 3 : 1.

От­сю­да Тре­уголь­ни­ки АСD и АВD также рав­но­ве­ли­ки как име­ю­щие одно и тоже ос­но­ва­ние АD и рав­ные вы­со­ты, про­ве­ден­ные к этой сто­ро­не.

Таким об­ра­зом, S(ABCD) = 9 + 1 + 3 + 3 = 16.

Слу­чай 2 (рис. 2).

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции DС и AB. Как было по­ка­за­но выше, но с уче­том дру­гих обо­зна­че­ний по­лу­чим, что Зна­чит,

Ана­ло­гич­но со слу­ча­ем 1 будем иметь:

Слу­чай 3 (рис. 3).

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции DС и BA. Тра­пе­ции BCDAи DABC сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны их ос­но­ва­ний. Сле­до­ва­тель­но, как и в слу­чае 3,

Слу­чай 4 (рис. 4).

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции DС и BA. Как и в преды­ду­щих слу­ча­ях:

По усло­вию

Зна­чит,

Ответ: 16; 48; 144.

Ре­ше­ние. Слу­чай 1. Тогда тре­бу­ет­ся, чтобы при всех x вы­пол­ня­лось Зна­чит, и от­ку­да

Слу­чай 2. Тогда тре­бу­ет­ся, чтобы при всех x вы­пол­ня­лось Зна­чит,

Сов­ме­щая эти усло­вия, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим про­грес­сию с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем Это бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щая гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, её сумма равна

б)  Пусть пер­вый член про­грес­сии это а зна­ме­на­тель это где   — на­ту­раль­ные числа. Тогда по усло­вию по­лу­ча­ем урав­не­ние: После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ет­ся ра­вен­ство: Если то ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах нет, а если то не­чет­но, и не может иметь ни­ка­ких про­стых де­ли­те­лей, кроме 5. Тогда что тоже не­воз­мож­но.

Ответ: а) да; б) нет.