PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Заметим, что 
и выделим левой части уравнения полный квадрат суммы 
Имеем:
Сумма неотрицательных величин равна нулю, только если каждая из них равна нулю, поэтому исходное уравнение равносильно системе:
Рассмотрим второе уравнение системы. Возможны два случая: 
или 
Если, 
то имеем:
Последнее равенство невозможно, а значит, система не имеет решений.
Если 
то 
откуда имеем:
Последнее равенство верно, а значит, числа 
являются решениями системы, а вместе с ней и исходного уравнения.
б) Отберём корни, лежащие на отрезке 
при помощи единичной окружности (см. рис.).
Находим: 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
куба 
служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины B и 
Найдите величину этого угла.
и 
При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранного угла, по сути две пары равных между собой двугранных углов.
будет вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей 
и 
Обозначим его 
А угол между двумя векторами заведомо не больше чем 
или 
и 
— соответствующие координаты нормальных векторов плоскостей.
в нашем случае получится положительным. Однако с учетом конкретной ситуации мы будем должны взять этот косинус с отрицательным знаком, поскольку искомый угол тупой.
или 
Координаты нормального вектора этой плоскости: 
или 
Координаты нормального вектора этой плоскости: 
Пусть 
— линейный угол упомянутого двугранного угла, 
И пусть ребро куба равно 1. Тогда 
поскольку 
подобны, так как они прямоугольные, 
как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. Следовательно, 
Аналогично 
по теореме косинусов имеем: 
и 
выражение 
можно заменить выражением 
имеющим тот же знак, что и 
Тогда будем иметь: 
Найдите BC, если AB = 12.
выполняться не будет.
(по условию), 
как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD, секущей АМ. Значит, 
по свойству транзитивности равенства. Отсюда BM = AB = 12.
Тогда 
тогда 
откуда 
Следовательно, BM = 12, и 
Очевидно, если x было корнем уравнения, то и 
будет его корнем.
то есть 
и выполняется при 
Тогда 
имеет единственный корень.
Тогда 
При 
значение будет 
при 
значение будет 
поэтому на отрезке 
есть еще корень.
Тогда 
Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при 
учеников ответили «в трех», значит, они участники всех трех олимпиад. По условию 
и 
Получается уравнение: 
Отсюда 
Решая, получаем, что 