PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни на промежутке 
Решение. а) Найдем ограничения на 
Заметим, что 
при любом значении 
Однако правая часть уравнения обязана быть неотрицательной, т. е. 
Это имеет место при выполнении условия
При таких значениях x будем иметь:
По теореме Виета найдем значения 
или 
Но 
не удовлетворяет условию Итак, решениями заданного уравнения являются числа вида 
б) Заметим, что 
Множеству 
принадлежат два корня заданного уравнения, а именно: 
и 
Нетрудно заметить, что 
Значит, — искомое значение Докажем, что 
Действительно,
(неравенство верно).
Отсюда: 
— также искомое значение
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
все ребра равны 
Найдите угол между плоскостями 
и 
— по AB, ось z — по прямой 
Координаты необходимых точек: 
или 
Нормальный вектор этой плоскости имеет вид: 
равен углу между векторами 
и 
только при 
Далее будем решать неравенство 
Поскольку при 
или 
то на этом множестве неравенство 
равносильно неравенству 
откуда получим 
Итак, решениями второго неравенства системы является множество 
На этом множестве исходное первое неравенство будет равносильным неравенствам: 
Найдем координаты пересечения этой прямой с осью x: 
тогда 
Итак, 
и уравнение прямой AO: 
Пусть B — точка их пересечения. Подставляя, имеем: 
и 
и уравнение прямой AO: 
и 
является решением системы, то и пара 
тоже является решением, поскольку 
Поэтому все решения системы кроме тех, в которых 
разбиваются на пары. Поэтому если решение системы единственно, то в этом решении 
или 
то из первого уравнения 
и решение 
или 
и решение (0;0).
поэтому первая задача сводится к 
Левая часть не меньше двух (как сумма двух взаимно обратных чисел), правая — не больше двух, причем равенства возможны только при 
Итак, здесь тоже единственное решение.
— количество членов. d — нечетное число, иначе все члены последовательности были бы четными. Из условия получаем уравнения 
и 
Вычитая из первого второе получим, что 
Тогда 
Получаем, что 
Возможны такие варианты: 
и 
Из условия получаем уравнения: 
и 
Вычитая из первого второе, получаем равенство: 
Если 
то прогрессия состоит из двух членов: 44, 33, если 
то 
но тогда не все члены прогрессии натуральные (прогрессия получается такая: 14, 13, 12,..., −6, −7).