Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505920
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка \log _2 дробь: чис­ли­тель: 5x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5x в квад­ра­те плюс 4 боль­ше 0, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x плюс 3 мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 1, x боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x плюс 3=0 толь­ко при x при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0;1;3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Далее будем ре­шать не­ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x плюс 3 мень­ше 0. По­сколь­ку при x мень­ше 1 или x боль­ше 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше 0, то на этом мно­же­стве не­ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x плюс 3 мень­ше 0 рав­но­силь­но не­ра­вен­ству 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 мень­ше 0, от­ку­да по­лу­чим x мень­ше 0. Итак, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1;3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Те­перь рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5x в квад­ра­те плюс 4 боль­ше или равно 0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 5x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x в квад­ра­те мень­ше или равно 1, x в квад­ра­те боль­ше или равно 4, конец си­сте­мы . новая стро­ка x левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 2, минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, x боль­ше или равно 2, конец си­сте­мы . новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , x боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше или равно минус 2, новая стро­ка минус 1 мень­ше или равно x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше или равно 1, новая стро­ка x боль­ше или равно 2. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ство имеет смысл при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

С уче­том ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы пер­вое не­ра­вен­ство до­ста­точ­но рас­смот­реть на мно­же­стве левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . На этом мно­же­стве ис­ход­ное пер­вое не­ра­вен­ство будет рав­но­силь­ным не­ра­вен­ствам:

\log _2 дробь: чис­ли­тель: 5x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби боль­ше \log _21 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5x плюс 4 минус 4x, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x плюс 4, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше минус 4, новая стро­ка x боль­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 13
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства выс­ших сте­пе­ней, Си­сте­мы не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025