PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505894 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. Применим формулу
получим
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности, получим:
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505894
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Формулы двойного угла
все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми 
и 
с точками 
и
отрезками. Четырехугольник 
— параллелограмм, поскольку 
Отсюда 
Следовательно, расстояние 
между скрещивающимися прямыми 
равно расстоянию между прямой 
ось z — по 
(
будем искать в виде 
Координаты точек 
обязаны удовлетворить уравнению этой плоскости. Пусть 
или 
где 
— координаты любой точки прямой 
Ясно, что 
При 
и 
левая часть неравенства будет иметь вид: 
а само неравенство — 
Тогда:
т. е. при 
или 
Но с учетом результата, полученного при решении первого неравенства, рассмотрение значения 
– это часть решения второго неравенства системы.
было неположительным. Ясно, что это условие будет выполнено при 
— около треугольника ВОС, 
— около треугольника СOD, 
— около треугольника AOD. И пусть 
— параллелограмм, 
Ясно, что также 
Основание перпендикуляра обозначим К. Так как АО = СО, 
— серединные перпендикуляры к отрезкам АО и СО, то 
Значит, 
т. е 
где 
Следовательно, 
ВО = 6.
т. е. 
Разделим обе части равенства на 
Получим:
или 
или 
Сделав в нем замену 
мы получим квадратное уравнение 
причем каждый его корень на промежутке 
даст две бесконечных серии решений, а каждый корень, равный 
— одну серию.
то есть 
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
дают решения 
и это действительно арифметическая прогрессия.
то есть 
откуда 
То есть это уравнение 
Его корни 
и 
или 
то уравнение 
не имеет корней, поэтому все корни исходного уравнения это 
Это действительно арифметическая прогрессия.
то этот случай уже разобран.
то 
и новых корней уравнение 
то уравнение 
Поэтому разность прогрессии должна составлять 
Значит, 
поэтому 
В этом случае все корни исходного уравнения 
Это действительно арифметическая прогрессия.
нет, при этом есть один корень на интервале 
Он даст по два корня исходного уравнения на каждом промежутке длины 
поэтому разность прогрессии должна быть 
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны 
и 
Тогда 
откуда 
или 
имеем уравнение 
или 
Уравнение 
корней не имеет, поэтому такое a подходит.
В то же время точки на тригонометрической окружности, изображающие эти корни, симметричны относительно горизонтальной оси. Поэтому единственный шанс — если эти корни равны 
и 
должна быть равна 0, и мы получаем уже разобранный случай (корни там совсем не такие, но это уже неважно) 
так как надо записать 9 однозначных, 90 двузначных и n — 99 трехзначных чисел.
Тогда из условия получим уравнение: 
Отсюда 
где n — целое число. Так как c и a цифры, то n может быть равно только −1, 0 или 1.
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Сократим на 20, получим: 
Отсюда 
Тогда уравнение (1) можно переписать так: 
Левая часть четная, правая — нечетная. Значит, этот случай невозможен.