PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505870 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни на промежутке 
Решение. а) Ограничения на 
Поскольку 
то мы вправе умножить обе части уравнения на выражение 
Далее будем иметь:
б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505870
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Найдите угол между прямыми 
и BK, где K — середина 
Он равен углу между прямыми 
и 
ось x направим по BA, ось y – по BC, ось z — по 
Найдем координаты векторов 
и 
— искомый угол.
При этом 
Тогда 
— искомый.
— равнобедренный: 
В таком случае OE — медиана и высота этого треугольника. В прямоугольном треугольнике DAE 
первое неравенство заданной системы обращается в верное числовое неравенство.
Рассмотрим два случая, изображенных на рисунке.
находим 
а значит, 
то есть
Заметим, что второй случай включает в себя первый.
верно для всех x из отрезка [0; 1,5].
и 
В правой части — линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом. Для того, чтобы на отрезке [0; 1,5] прямая лежала ниже графика корня, значение линейной функции при x = 0 должно быть меньше 5, а при x = 1,5 должно быть меньше 10. Решая систему неравенств 
находим, что 
тогда 
Имеем:
соответствуют t, лежащие в отрезке 
неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке 
первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если 
то старший коэффициент квадратичной функции 
отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на 
и 
Тогда 
и 
то есть 
Объединяя со случаем 
окончательно получаем: 
где 
Натуральное число A имеет вид 
где 
— различные числа из набора p, k — среднее арифметическое всех чисел p, а [k] — целая часть числа k.
или 4, а максимальное значение равно 
то есть 7.
поэтому 
Составим таблицу для первых значений n.
выполняется, равно 24. Действительно, если взять наибольшие числа 
получим 
Однако число А в этом случае равно 
то есть не является натуральным. Продолжая перебор, находим, что при n = 28 число 
Этим найдено наименьшее натуральное число n, при котором все условия выполнены. 
и условия 
заключаем, что 
Изучая таблицу из пункта б), подыскиваем среди чисел pn два числа, дающих в произведении 40. Наименьшее такое n равно 12: 5 · 8 = 40. Однако соответствующее значение 
не является натуральным. Продолжая перебор, для n = 20 находим 
Этим найдено искомое число n.
достигается на произведении двух последних чисел последовательности 
Нетрудно заметить, что 
при этом 
значит, 
а равенство достигается при n кратном 4. Таким образом, неравенство 
будет верно для тех же n что и исходное неравенство, за исключением, возможно, одного меньшего. Решим последнее неравенство