PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а)
Мы получили две серии корней: 
и 
Обратим внимание на то, что среди них имеются совпадающие корни, например, при 
и 
обращаются в нуль, при 
выполняется равенство 
при 
и т. д. В принципе мы могли бы полученные серии корней оставить такими, какие они есть.
А что значит, решить уравнение? Решить уравнение — значит, найти множество его корней. (Правда, это множество может оказаться и пустым!)
При этом будем иметь в виду, что 
Это — бесспорно! Однако наш ответ к задаче будет выглядеть более привлекательным, если мы все же пойдем несколько иным путем: постараемся выразить множество решений уравнения через непересекающиеся множества. С этой целью отметим кружочком на единичной окружности все точки, соответствующие серии корней 
а крестиком — точки, соответствующие серии корней
Тогда нам легко удастся выделить три серии корней, которые общих элементов не имеют. Такими будут числа вида: 
и 
б) Отбор искомых корней с помощью единичной окружности в данном случае будет несколько неудобным из-за большого количества корней, принадлежащих заданному отрезку. (Их всего окажется 16). Поэтому отдадим предпочтение другому способу — перебору различных целых значений n для каждой серии решений.
Найдем значение n, при котором 
Ясно, что таким значением будет −6. Аналогично найдем минимальные значения n, для которых верны неравенства:
Таким значением для обоих последних серий будет число −3.
Полученные результаты занесем в таблицу.
Ответ: а) 
б) 
0.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) 0. б) 0.
, стороны основания которой равны 
Найдите угол между прямыми 
и 
, если сумма длин всех сторон обоих оснований равна 
Соединим отрезками точки B и 
и 
|| 
— искомый. 
Очевидно также, что также 
— искомый угол. 
также по теореме косинусов. 
— искомый угол. Тогда 
, 
, 
, 
, 
в координатах: 
, 
относительно 
Тогда при 
на 
равносильно неравенству 
поскольку их множества решений совпадают на 
по теореме синусов.
подходит в систему и в уравнение кривой, то и точка 
тоже подходит. Поэтому для получения нечетного числа общих точек требуется, чтобы абсцисса одной из общих точек была равна нулю. Тогда это либо 
либо 
Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при 
других точек пересечения нет. Если же 
то получаем 
имеющее корни 
Итого три точки пересечения.
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при 
и это еще две точки пересечения.
откуда 
Однако для них получаются те же точки пересечения, которые мы уже нашли.
Устраивающие нас две ситуации соответствуют случаям вписанной и описанной окружности треугольника.
Противоречие.
и 
Решая их, получим, что 
Значит, n делится на 10, поэтому минимально возможное n равно 10. Пример такой ситуации: оценки в 9-ом классе 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Оценки в 11-ом классе: 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.