Ре­ше­ние. а)  Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет, кроме того, Зна­чит, оста­ет­ся един­ствен­ное урав­не­ние

За­ме­ча­ние: при на­хож­де­нии огра­ни­че­ний на x вклю­чать в си­сте­му усло­вие на­доб­но­сти нет, так как вы­пол­не­ние этого усло­вия обес­пе­чит дру­гое не­ра­вен­ство, а имен­но

Дей­стви­тель­но, как было по­ка­за­но выше От­сю­да ясно, что усло­вие вы­пол­ня­ет­ся, как толь­ко будет вы­пол­не­но усло­вие

б)  Ис­ко­мо­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жат лишь два корня: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим за M се­ре­ди­ну ребра AC.

По­сколь­ку KN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ADB, то По­это­му

По­это­му

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что вы­ра­же­ния и яв­ля­ют­ся вза­им­но об­рат­ны­ми. Вто­рое из них имеет смысл при вы­пол­не­нии усло­вия т. е. при Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы сле­ду­ет ис­кать на мно­же­стве

Пусть Тогда пер­вое не­ра­вен­ство при­мет вид: или Най­дем корни левой части этого не­ра­вен­ства:

Таким об­ра­зом, при

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной Будем иметь:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы мно­же­ство

Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на Най­дем огра­ни­че­ния на

До­ка­жем, что

Огра­ни­че­ния на x с уче­том ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства вы­гля­дят так:

То есть ре­ше­ния не­ра­вен­ства будут при­над­ле­жать мно­же­ству

На этом мно­же­стве:

Най­дем корни чис­ли­те­ля левой части по­след­не­го не­ра­вен­ства:

Итак,

Пре­жде чем по­лу­чить окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат до­ка­жем не­ра­вен­ство Дей­стви­тель­но,

При любом зна­че­нии x, удо­вле­тво­ря­ю­ще­му усло­вию вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства: Сле­до­ва­тель­но, на мно­же­стве

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров из точек K и M на пря­мые LM и KM за и за точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM за H, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка KMH за O.

а)  По­сколь­ку точка O лежит выше пря­мой KM и, зна­чит, на той же дуге KM опи­сан­ной окруж­но­сти KLM, что и точка L. По­это­му C дру­гой сто­ро­ны, в опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка KMH это цен­траль­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, что и впи­сан­ный угол KHM. Зна­чит, от­ку­да

б)  По уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KLM имеем

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что одним из кор­ней урав­не­ния при любом a яв­ля­ет­ся По­это­му во­прос за­да­чи сво­дит­ся к та­ко­му  — при каких a урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень? Ис­сле­ду­ем функ­цию

При по­лу­чим Эта функ­ция убы­ва­ет на всем дан­ном про­ме­жут­ке и при­ни­ма­ет на нем зна­че­ния от 1 до То есть из про­ме­жут­ка

При по­лу­чим Итак, на всем этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние −1, есте­ствен­но, бес­ко­неч­но много раз.

При по­лу­чим Итак, на всем этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние 1, есте­ствен­но бес­ко­неч­но много раз.

Итак, функ­ция при­ни­ма­ет по од­но­му разу зна­че­ния в про­ме­жут­ке бес­ко­неч­но много раз при­ни­ма­ет зна­че­ния и не при­ни­ма­ет дру­гих зна­че­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. До­ка­жем сразу пункт б).

Обо­зна­чим через s(A) сумму цифр числа A. Из рас­смот­ре­ния сло­же­ния в стол­бик двух чисел A и B сле­ду­ет, что s(A + B) ≤ s(A) + s(B), при­чем ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся в том и толь­ко в том слу­чае, когда при сло­же­нии нет пе­ре­но­сов через раз­ряд.

Тем самым, из усло­вия за­да­чи вы­те­ка­ет, что при сло­же­нии 5N + 5N = 10N нет пе­ре­но­сов через раз­ряд, по­сколь­ку s(10N) = s(N) = 100. Но число 5N окан­чи­ва­ет­ся на 5 или на 0 в слу­чае со­от­вет­ствен­но не­чет­но­го и чет­но­го N. Пер­вый слу­чай от­па­да­ет, так как воз­ни­ка­ет пе­ре­нос в по­след­нем раз­ря­де.