Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Вы­бор­ка кор­ней:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть про­ек­ция точки S на плос­кость ос­но­ва­ния это точка H. Опу­стим из точки S пер­пен­ди­ку­ля­ры на сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах -- тоже пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка. А из усло­вия ра­вен­ства дву­гран­ных углов при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки SKH, SLH, SMH равны, по­это­му а зна­чит H -- центр впи­сан­ной в ABC окруж­но­сти.

б)  Как из­вест­но, если фи­гу­ра яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей фи­гу­ры то

Спро­ек­ти­ру­ем бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на плос­кость ее ос­но­ва­ния. Они по­кро­ют ос­но­ва­ние, а пло­ща­ди их про­ек­ций будут мень­ше пло­ща­дей ис­ход­ных гра­ней в По­это­му ис­ко­мая бо­ко­вая по­верх­ность равна

Оста­лось найти пло­щадь ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим ка­те­ты ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за a и b. Тогда и (тео­ре­ма Пи­фа­го­ра и фор­му­ла для ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти).

Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­чим умно­жая на 2 и скла­ды­вая с пер­вым, по­лу­чим

от­ку­да Тогда

Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

Оче­вид­но, что при всех

сле­до­ва­тель­но, вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы ре­ше­ний не имеет. А это зна­чит, что ис­сле­до­ва­ние пер­во­го не­ра­вен­ства той же си­сте­мы не имеет ни­ка­ко­го смыс­ла, у си­сте­мы ре­ше­ний нет.

Ответ: ре­ше­ний нет.

Ре­ше­ние. До­ка­жем два вспо­мо­га­тель­ных утвер­жде­ния.

1)  В любом че­ты­рех­уголь­ни­ке

В самом деле, обо­зна­чая имеем

2)  В тра­пе­ции

В самом деле,

Те­перь решим за­да­чу.

а)  Рас­кры­вая скоб­ки, имеем

б)  Ис­поль­зуя фор­му­лу пунк­та а) имеем:

Ответ: б) 225.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Ис­сле­ду­ем те­перь функ­цию

Если то

Гра­фик этой функ­ции  — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при x  =  2, по­это­му f(x) убы­ва­ет на всем про­ме­жут­ке и f(−1)  =  2.

Если то

Гра­фик этой функ­ции  — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при по­это­му f(x) воз­рас­та­ет до и убы­ва­ет после него, при этом

Если то

Гра­фик этой функ­ции  — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при x  =  1, по­это­му f(x) убы­ва­ет на всем про­ме­жут­ке и f(2)  =  −7.

Если то Гра­фик этой функ­ции  — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной при x  =  2, по­это­му f(x) воз­рас­та­ет на всем про­ме­жут­ке и f(2)  =  −7.

Итак, f(x) сов­па­да­ет с всюду кроме от­рез­ка То есть при боль­ших по мо­ду­лю x ее гра­фик  — па­ра­бо­ла вет­вя­ми вверх.

Те­перь можно опре­де­лить число ре­ше­ний.

При a  =  −7 одно ре­ше­ние.

При −7 < a < 2 два ре­ше­ния.

При a  =  2 три ре­ше­ния.

При че­ты­ре ре­ше­ния

При три ре­ше­ния

При два ре­ше­ния

Ответ: a  =  2,

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух целых чисел яв­ля­ет­ся целым тогда и толь­ко тогда, когда они одной чет­но­сти (то есть оба чет­ные или оба не­чет­ные). По­сколь­ку ком­пью­тер может опе­ри­ро­вать лишь с це­лы­ми чис­ла­ми, то, без огра­ни­че­ния общ­но­сти, можно счи­тать, что раз­ре­ша­ет­ся брать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел одной чет­но­сти.

Будем на­зы­вать мно­же­ство целых чисел ста­биль­ным, если для любых двух его эле­мен­тов одной чет­но­сти, их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское также при­над­ле­жит этому мно­же­ству. Дру­ги­ми сло­ва­ми, если с по­мо­щью дан­но­го ком­пью­те­ра его нель­зя рас­ши­рить.

Раз­бе­рем­ся, как устро­е­ны ста­биль­ные мно­же­ства. Будем пред­по­ла­гать, что рас­смат­ри­ва­е­мые мно­же­ства упо­ря­до­че­ны (по воз­рас­та­нию). За­ме­тим, что чет­ные и не­чет­ные числа в ста­биль­ном мно­же­стве че­ре­ду­ют­ся. Дей­стви­тель­но, если в нем име­ют­ся два со­сед­них числа одной чет­но­сти, то их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское яв­ля­ет­ся целым, ле­жа­щим между ними, что про­ти­во­ре­чит опре­де­ле­нию ста­биль­но­го мно­же­ства. Рас­смот­рим те­перь про­из­воль­ный (не край­ний) эле­мент ста­биль­но­го мно­же­ства. Так как он имеет раз­ную чет­ность с обо­и­ми сво­и­ми со­сед­ни­ми эле­мен­та­ми, то эти два эле­мен­та имеют одну чет­ность. Их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, тем самым, равно рас­смат­ри­ва­е­мо­му числу. Если любой эле­мент мно­же­ства яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским со­сед­них, то это  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. (Мы рас­смат­ри­ва­ем как бес­ко­неч­ные  — в одну или обе сто­ро­ны  — про­грес­сии, так и ко­неч­ные). Таким об­ра­зом, любое ста­биль­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей.

Итак, мы имеем три числа 0, m и n. По край­ней мере два из них имеют оди­на­ко­вую чет­ность. Мы можем про­из­во­дить опе­ра­цию взя­тия сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го каких-либо двух чисел и до­бав­лять по­лу­чен­ное число к име­ю­щим­ся до тех пор, пока не по­лу­чим ста­биль­ное мно­же­ство. По­сколь­ку все по­лу­ча­е­мые числа лежат в ин­тер­ва­ле от 0 до n, мы по­лу­чим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном 0, по­след­ним n и со­дер­жа­щим m. По­сколь­ку m и n де­лят­ся на раз­ность про­грес­сии, а по усло­вию они вза­им­но про­сты, раз­ность про­грес­сии равна 1. Зна­чит, мы по­лу­чим все числа от 0 до n.