Ре­ше­ние. а)   Огра­ни­че­ния на Для таких x будем иметь:

Корни есть по­сто­рон­ние.

Итак, ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида

б)  Вы­бор­ку кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Как из­вест­но, если все ребра на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под оди­на­ко­вым углом то вы­со­та пи­ра­ми­ды па­да­ет в центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния. Кроме того, если ра­ди­ус этой окруж­но­сти обо­зна­чить за R, а вы­со­ту за h, то

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми a  =  7, b  =  8, c  =  9.

Итак,

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Пусть

Тогда:

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Итак, вто­рое не­ра­вен­ство имеет смысл, если

Для таких зна­че­ний x будем иметь:

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства:

С уче­том огра­ни­че­ний по­лу­чим:

Пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на вы­со­та к ги­по­те­ну­зе CD. Тре­уголь­ни­ки ACD и ABC по­доб­ны по двум углам ( общий, ) с ко­эф­фи­ци­ен­том и в таком же от­но­ше­нии на­хо­дят­ся их ра­ди­у­сы впи­сан­ных окруж­но­стей.

По тем же при­чи­нам по­доб­ны тре­уголь­ни­ки BCD и ABC ( общий, ). Зна­чит, и тре­уголь­ни­ки ACD и BCD по­доб­ны.

б)  Как сле­ду­ет из пер­во­го пунк­та, в тре­уголь­ни­ках ACD, BCD, ABC оди­на­ко­во от­но­ше­ние ги­по­те­ну­зы к ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти. Обо­зна­чим это от­но­ше­ние за x. Тогда Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра от­ку­да

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Оче­вид­но это воз­мож­но толь­ко при

Тогда

от­ку­да

Слу­чай 1. a  =  b. Тогда

Слу­чай 2. a  =  2b. Тогда

Итак, ре­ше­ние у си­сте­мы есть толь­ко при a  =  b  =  3, a  =  b  =  −3, И это ре­ше­ние все­гда x  =  3.

Ответ: a  =  b  =  3, a  =  b  =  −3,

Ре­ше­ние. а)  Если вме­сти­мость ста­ка­на счи­тать рав­ной 1, то в пер­вых трех ста­ка­нах в сумме 1 и 1/12 воды. Пе­ре­льем в пер­вый ста­кан всю воду из вто­ро­го, а затем из тре­тье­го, пока пер­вый не за­пол­нит­ся. После этого в тре­тьем ста­ка­не ока­жет­ся 1/12.

б)  До­ка­жем ин­дук­ци­ей по ко­ли­че­ству пе­ре­ли­ва­ний, что ко­ли­че­ство воды в не­пу­стом ста­ка­не после пе­ре­ли­ва­ний есть либо 1, либо дроб­ная часть суммы не­ко­то­рых из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10, при этом в раз­ных ста­ка­нах в сум­мах участ­ву­ют не­по­вто­ря­ю­щи­е­ся числа. База ин­дук­ции верна. Пусть в ста­ка­нах A и B ко­ли­че­ство воды равно a и b со­от­вет­ствен­но. Если из ста­ка­на A в ста­кан B пе­ре­ли­ва­ет­ся вся вода, то новые ко­ли­че­ства со­став­ля­ют 0 и a + b, а если ста­кан B на­пол­ня­ет­ся из A до­вер­ху, то a + b − 1 и 1. Те­перь ясно, что утвер­жде­ние оста­лось ис­тин­ным.

Пусть 1/6  =  a₁ +...+ a_k , где a_k – не­ко­то­рые из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10.

По­ка­жем, что в этой сумме нет чисел 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10. Дей­стви­тель­но, легко про­ве­рить, что если там при­сут­ству­ет хотя бы одно из чисел 1/5 или 1/10 , одно из чисел 1/4 или 1/8 , или число 1/9 , то зна­ме­на­тель по­лу­чив­шей­ся дроби де­лит­ся на 5, 4 или 9 со­от­вет­ствен­но. В то же время число 6 не де­лит­ся ни на одно из этих чисел. Из чисел же 1/2 и 1/3 не­воз­мож­но сло­же­ни­ем по­лу­чить число с дроб­ной ча­стью 1/6 .

Ответ: а) да; б) нет.