Ре­ше­ние. а)  Най­дем огра­ни­че­ния на

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное урав­не­ние:

Най­дем пе­ре­се­че­ние по­лу­чен­ных зна­че­ний х с най­ден­ны­ми огра­ни­че­ни­я­ми на Ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ной ока­жут­ся числа вида: и

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

За­ме­тим, что за­дан­но­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жат лишь два корня: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки с вер­ши­на­ми в цен­тре сферы,вер­ши­не S и точ­ках ка­са­ния сферы с бо­ко­вы­ми реб­ра­ми. Они все равны по ги­по­те­ну­зе (общей) и ка­те­ту (ра­ди­у­су), по­это­му у них равны и рас­сто­я­ния от точек ка­са­ния до Из усло­вия о ра­вен­стве от­но­ше­ний по­лу­ча­ем, что бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны. Сле­до­ва­тель­но, ее вы­со­та па­да­ет в центр H опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния.

Пусть это от­но­ше­ние было равно Про­дол­жим луч O (O  — центр сферы) и от­ме­тим точку так, чтобы Тогда пер­пен­ди­ку­ля­ры из на бо­ко­вые ребра будут па­дать в то есть точка рав­но­уда­ле­на от них. По­это­му ее про­ек­ция на плос­кость LMN  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка Сле­до­ва­тель­но, O лежит на Тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SHN. Пусть тогда (по­сколь­ку O рав­но­уда­ле­на от ON и SN, она лежит на бис­сек­три­се угла). Тогда

и

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть сфера ка­са­ет­ся бо­ко­вых ребер SL, SM, SN пи­ра­ми­ды в точ­ках P, Q, T со­от­вет­ствен­но. O  — центр сферы.

Тогда у пи­ра­ми­ды OPQT с ос­но­ва­ни­ем PQT бо­ко­вые ребра равны как ра­ди­у­сы сферы. А зна­чит, вер­ши­на O про­ек­ти­ру­ет­ся в центр опи­сан­ной окруж­но­сти (на­зо­вем K) около ос­но­ва­ния (дей­стви­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки PKO, QKO, TKO равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту, а зна­чит точка K рав­но­уда­ле­на от каж­дой вер­ши­ны ос­но­ва­ния PQT).

Но ведь тогда и, в об­рат­ную сто­ро­ну, в пи­ра­ми­де SPQT бо­ко­вые ребра равны, раз ее вер­ши­на S спро­ек­ти­ро­ва­лась в центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ос­но­ва­ния.

А по­сколь­ку по усло­вию точки ка­са­ния сферы делят бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды в рав­ных от­но­ше­ни­ях, счи­тая от вер­ши­ны S, то и LS  =  MS  =  NS, а также S про­ек­ти­ру­ет­ся в центр опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка LMN.

Ну и по­сколь­ку плос­ко­сти (PQT), (LMN) па­рал­лель­ны, то и точки S, K, O, H лежат на одной пря­мой.

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти около ос­но­ва­ния LMN пи­ра­ми­ды SLMN, а так же пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

По фор­му­ле Ге­ро­на где имеем:

Тогда, поль­зу­ясь фор­му­лой на­хож­де­ния ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка с пло­ща­дью S и сто­ро­на­ми a, b, с: имеем:

Об­ра­тим­ся к пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку SMH. Как мы знаем, ра­ди­ус сферы, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния сферы и плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ля­рен к ка­са­тель­ной плос­ко­сти, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков OMH и OMQ (по ги­по­те­ну­зе у ка­те­ту) сле­ду­ет, что OM  — бис­сек­три­са угла SMH.

Пусть Из тре­уголь­ни­ка OMH имеем:

Из тре­уголь­ни­ка SMH:

Как толь­ко мы най­дем   — мы будем знать вы­со­ту пи­ра­ми­ды (пло­щадь ос­но­ва­ния мы уже знаем), тогда и объем будет най­ден. Итак,

На­ко­нец, из тре­уголь­ни­ка SMH:

Тогда

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

По­сколь­ку то мы впра­ве пе­рей­ти к более про­сто­му не­ра­вен­ству:

С уче­том огра­ни­че­ний на x по­лу­чим: или

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы есть мно­же­ство

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Итак, ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Оче­вид­но, что ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что по­сколь­ку тогда или как пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Зна­чит, Обо­зна­чим ос­но­ва­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC за Тогда точки K, B, A, A₁, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB (из-за пря­мых углов). за­ме­тим, что   — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из K на

Пе­ре­пи­шем тре­бу­е­мое утвер­жде­ние:

Это верно из-за по­до­бия тре­уголь­ни­ков AHS и CBS по двум углам: дей­стви­тель­но,

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим для на­ча­ла, что урав­не­ние имеет на ука­зан­ном про­ме­жут­ке 2 корня при 1 ко­рень при не имеет кор­ней при про­чих b.

Воз­мож­ны сле­ду­ю­щие си­ту­а­ции:

1)  Урав­не­ние имеет два корня, а урав­не­ние кор­ней не имеет.

Тогда Чтобы вто­рое урав­не­ние не имело кор­ней, a не долж­но по­пасть в про­ме­жу­ток

Итого:

2)  Урав­не­ние кор­ней не имеет, а урав­не­ние имеет два корня.

Тогда Но при таких a урав­не­ние тоже имеет корни.

3)  Оба урав­не­ния имеют по од­но­му корню и эти корни не сов­па­да­ют, что не­воз­мож­но.

4)  Каж­дое урав­не­ние имеет по два корня, и эти корни сов­па­да­ют. Тогда и каж­дое урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в ко­то­рое имеет на ука­зан­ном про­ме­жут­ке два корня

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку 300 и 198 де­лят­ся на 6, Петя смо­жет снять лишь сумму, крат­ную 6 дол­ла­рам. Мак­си­маль­ное число, крат­ное 6 и не пре­вос­хо­дя­щее 500,  — это 498. До­ка­жем, что снять 498 дол­ла­ров воз­мож­но. Про­из­ве­дем сле­ду­ю­щие опе­ра­ции: 500 – 300 = 200, 200 + 198 = 398, 398 – 300 = 98, 98 + 198 = 296, 296 + 198 = 494. Сумма, ле­жа­щая в банке, умень­ши­лась на 6 дол­ла­ров. Про­де­лав ана­ло­гич­ную про­це­ду­ру 16 раз, Петя сни­мет 96 дол­ла­ров. Затем он может снять 300, по­ло­жить 198 и снова снять 300. В ре­зуль­та­те у него будет 498 дол­ла­ров.