PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505706 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Однородные тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс, Уравнения смешанного типа
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Решим уравнение
б) Серии 
и 
задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке 
окажутся лишь два корня: 
и 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 
Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC и центр окружности, вписанной в этот треугольник.
и точку O1 — точку пересечения медиан треугольника, 
R — радиус окружности, описанной около 
по теореме синусов имеем: 
Далее: 
Пусть 
тогда: 
(не подходит). Итак, AB = 2. Поскольку AB в 2 раза меньше, чем АС, то в соответствии с теоремой синусов 
проведенную к стороне BC: 
коэффициент подобия 
Отсюда:
Следовательно, 
Тогда по теореме Пифагора будем иметь: 
по теореме косинусов:
— тупоугольный. Для этого достаточно доказать, что 
проведенную к продолжению стороны MN. Пусть E — основание высоты, SE = h, NE = x.
перепишем это неравенство так: 
Разделим обе части последнего неравенства на 
Тогда: 
тогда 
Перейдем к переменной 
с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 
тогда 
то есть 
Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде
для 
Поскольку 
для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда 
откуда 
то есть 
которое должно быть выполнено для всех х из отрезка 
положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:
получим неравенство 
Запишем это неравенство в виде 
Этим задача сведена к неравенству 
для возрастающей функции 
Таким образом, 
откуда 
Тогда если 
то 
на всем отрезке 
откуда 
то 
Все такие числа t являются решениями, поскольку правая часть не меньше −2.
то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно. 
то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно. 
то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.
то в силу неравенства 
справедливого для положительных α, получаем:
то 
В этом случае решений нет, поскольку правая часть не больше 2. 
Следовательно, 
и далее как ранее.
— сумма цифр натурального числа x, 
— количество его цифр, бóльших 4. Тогда 
-ый, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-ом разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно 
При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму 
возникает единица, которая входит в 
то есть 
по сравнению с 
уменьшается на 9. Что и требовалось доказать.
-го разряда числа 
нечётна. Поэтому, 
Следовательно, для чисел M и K, составленных из одних и тех же цифр, 
Теперь, используя вспомогательное утверждение, получаем: 
и 
отличаются только перестановкой цифр, поэтому, используя пункт б), получаем: 